关键路径与AOE网

        在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们叫做AOE网（Activity On Edge Network）。AOE网中没有入度的顶点称为源点或始点，没有出度的顶点称为终点。AOE网是要建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础之上，再来分析完成整个工程至少需要多少时间。

        我们把路径上各个活动所持续的时间之和叫做路径长度，从源点到终点具有最大长度的路径叫做关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。我们找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，如果它们相等，则此活动是关键活动，活动间的路径为关键路径。如果不相等，则就不是。

       我们定义一下四个参数：

               1.事件的最早发生时间 etv，即顶点Vk的最早发生时间；

               2.事件的最晚发生时间 ltv，即顶点Vk的最晚发生时间；

               3.活动的最早开工时间 ete，边Ak的最早发生时间；

               4.活动的最早开工时间 lte，边Ak的最晚发生时间；

       我们由1和2可以求得3和4，然后在根据 ete 和 lte 是否相等来判断活动k是否为关键活动。

     

      求事件的最早发生时间 etv[i] 的过程，就是从头到尾找拓扑序列的过程，因此，在求关键路径之前，需要先调用一次拓扑序列算法的代码来计算 etv[i] 和拓扑序列列表。

代码如下：

//边表结点
typedef struct EdgeNode  
{
	int adjvex;//邻接点域，存储该顶点对应的下标
	int weight;//存储权值
	struct EdgeNode * next;
}EdgeNode;

//顶点表结构
typedef struct VertexNode 
{
	int in;//顶点入度
	int data;//顶点域，存储顶点信息
	EdgeNode * firstedge;//边表头指针
}VertexNode;

typedef struct  GraphAdjList
{
	VertexNode adjList[MAXVEX];
	int vertexNum;
}GraphAdjList;

int etv[VERTEX],ltv[VERTEX];//事件最早发生时间和最晚发生时间
int stack2[VERTEX];//用于存储拓扑序列的栈
int top2;//指向stack2的栈顶

void TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{
	EdgeNode * e;
	int i,k,gettop;
	int top = -1;//指向栈顶
	int count = 0;//统计输出顶点的个数
	int stack[MAXVEX];//用栈来存储入度为0的顶点

	for (i = 0; i < GL.vertexNum; i++)
		if (GL.adjList[i].in == 0)
			stack[++top] = i;//将入度为0的顶点入栈
	top2 = -1;
	for (i = 0; i < GL.vertexNum; i++)
		etv[i] = 0;//初始化为0

	while (top != -1)
	{
		gettop = stack[top--];//出栈
		count++;
		stack2[++top2] = gettop;//将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈
		e = GL.adjList[gettop].firstedge;
		while (e != NULL)//遍历此顶点的弧表
		{
			k = e->adjvex;
			if (!(--GL.adjList[k].in))//入度为0则入栈
				stack[++top] = k;
			if ((etv[gettop] + e->weight) > etv[k])//求各顶点事件最早发生时间值
				etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
			e = e->next;
		}
	}
	if (count < GL.vertexNum)
		printf("有回路");
}

void CriticalPath(GraphAdjList GL)
{
	EdgeNode * e;
	int i,gettop,k,j;
	int ete,lte;//声明活动最早发生时间和最迟发生时间
	TopologicalSort(GL);	//求拓扑序列，计算数组etv和stack2的值
	for (i = 0; i < GL.vertexNum; i++)
		ltv[i] = etv[GL.vertexNum - 1];//初始化ltv
	while (top2 != -1)//计算ltv
	{
		gettop = stack2[top2--];//将拓扑序列出栈，后进先出
		e = GL.adjList[gettop].firstedge;
		while (e != NULL)
		{//求各顶点事件的最迟发生时间ltv
			k = e->adjvex;
			if (ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
				ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
			e = e->next;
		}
	}
	for (j = 0; j < GL.vertexNum; j++)
	{
		e = GL.adjList[j].firstedge;
		while (e != NULL)
		{
			k = e->adjvex;
			ete = etv[j];	//活动最早发生时间
			lte = ltv[k] - e->weight;//活动最迟发生时间
			if (ete == lte)//两者相等即在关键路径上
				printf("<V%d,V%d> length: %d, ",
                                   GL.adjList[j].data,GL.adjList[k].data,e->weight);
			e = e->next;
		}
	}
}

可以结合下图分析：