exgcd

1.问题

求解：ax+by=kg。其中：a>0，b>0，g=gcd(a，b)，k为整数

2.特解

原问题 求ax+by=g 求bx+(a%b)y=g。

令bx+(a%b)y=g解为x0，y0。则bx0+(a-a/b*b)y0=g，则x=y0，y=x0-a/b*y0。

可见，如果要求ax+by=g，我们可以持续对a，b进行辗转相除，将被除数换成除数，将除数换成余数，得到新方程的解可以推出旧方程的解。什么时候停下呢？易知当除数为0即b==0，便须停止。然而此时我们发现方程变成了：ax+0y=g，它的特解便唾手可得了：x=1，y=0，理由是：此时方程ax+0y=g，这里的a是上一层方程的b，而在上一层中，上一层的a整除了上一层的b，所以g等于上一层的b，（这里是gcd里的知识，还不了解的可以先去了解一下再来看）也就等于此刻的a，gx+0y=g，当然得出x=1，至于y，随便什么都行，这里取了特解y=0。现在我们得到了最后一层的一个特解，可以通过上面给出的代换式递归得到上一层的x和y，最后递归到第一层，就得到ax+by的解啦，再乘个k倍，进而得到原问题的解了。

3.一点心得

裴蜀定理提到，ax+by=c有整数解的充要条件是c为gcd(a，b)的整数倍，这里不予证明，但是能窥见少许它的正确性：在1.中我们说到辗转相除的最后一层是ax+0y=g，这里的a是等于g的，所以我们说x=1，可是如果等式右边不是g或者g的整数倍呢？我们便不能得到x的整数值，至少就辗转相除这个方法来说，方程无整数解。

4.裸码

void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll x0=x,y0=y;
    x=y0;
    y=x0-a/b*y0;
}
int main()
{
    ll a,b,g;   cin>>a>>b>>g;
    ll x,y;
    exgcd(a,b,x,y);
    cout<<"x="<<x<<",y="<<y;
}

运行结果：

5.通解

现在我们知道了方程ax+by=g的一组特解：x=x0，y=y0。怎么导出它的通解呢？

我们设通解为x，y。不妨令x=x0+p，将其代入ax+by=p可得到：x=x0+p，y=y0-a/b*p。然后我们要求的是整数解，所以要满足两点：1.p为整，2.a/b*p为整。然而我们关注a/b最多约分掉一个g，剩下的a/g与b/g必是互质的，所以这个p必须为k*b/g，其中k为整，否则a/b必产生小数，这样，p本身自然也是整数了，条件达成，故最终通解为：x=x0+k*b/g，y=y0-k*a/g。

6.例题

洛谷-同余方程

        1.大意

        求使满足ax%b=1的最小正整数解，我们转换一下题意：ax=by+1，求使满足的最小正整数x。再转换：ax+by=1，求解最小正整数x。

        2.思路

        我们先拿到特解，再拿到通解：x=x0+k*b/g，再令x0=k*b/g，反解出k，再向下取整，就能得出x了。

        3.完整代码

        

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=2e9+9;
void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll x0=x,y0=y;
    x=y0;   y=x0-a/b*y0;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    while(a%b!=0)
    {
        ll r=a%b;
        a=b;
        b=r;
    }
    return b;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);    cin.tie(0); cout.tie(0);
    ll a,b; cin>>a>>b;
    ll g=gcd(a,b);
    ll x,y;
    exgcd(a,b,x,y);
    x*=g;   y*=g;
    ll k=floor(x*1.0/(b/g));
    cout<<x-k*b/g<<'\n';
    return 0;
}