【总结】理解欧几里德及扩展欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

gcd(a,b)由递推所得，自然需要初始值和递推式。

1. a = b ,  b = a%b 这个递推式由公理 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 所得。

证明：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
（a>b）设a = k*b + c, 则 a % b = c; (设 d为a,b的公约数), 则 a/d，b/d都为整数；因为 c = a – k*b，则c/d = a/d – k*b/d，所以c/d 一定为整数 ，得到 d为b，a%b的公约数或为a，a%b的公约数。那么a，b的所有公约数即为b，a%b的公约数，所以 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

2. 初始值：b = 0 时 ,最大公约数为a。

证明：根据递推式，往上推一步，gcd(a,b) = gcd(b,a%b)，则a % b = 0
当a % b = 0时，其最大公约数即为b。因为a是b的倍数时,自然b为最大公约数。

int gcd(int a,int b){
    if(!b)  return a;
    else    return gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法，求不定方程。

对于不定方程ax+by=c，求满足其方程的整数解。
扩展欧几里得能对ax+by=gcd(a,b)计算所有x，y的解，只有满足c%gcd(a,b)==0时，ax+by=c才有解，当然解由ax+by=gcd(a,b)计算结果 * (c/gcd(a,b))得到。
递推式原理：对于不定方程有:  ax1+by1 = gcd(a,b) ;  也可以替换未知数  bx2+(a%b)y2 = gcd(b,a%b);  由欧几里得所证的定理 gcd(a,b) = gcd(b,a%b);  那么ax1+by1 = bx2+(a%b)y2;  将a%b = a-a/b*b,  那么ax1+by1 = ay2+b(x2-a/b*y) , 有恒等式 x1 = y2 ;  y1 = x2-a/b*y。
得到递推的等式，我们需要知道其初始点。当b=0时，gcd(a,b)=a，此时x=1，y=0。

计算得到ax+by=c的解，只是ax+by=c的其中的一个解，而其他值满足：
x(i) = x + b/Gcd(a, b) * t
y(i) = y - a/Gcd(a, b) * t             (其中t为任意整数，两者需同时进行)
【ps.可以自行代入a，b验证】

int ExGCD(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = ExGCD(b, a%b, x, y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - a/b*y;
    return d;
}

//d为gcd(a,b), x , y得到的是c = gcd(a, b)时的值。

扩展欧几里得算法，求同余方程。
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 求解。
其实求解方程 ax≡b (mod n) 就相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

在求解除法取模问题(a/b)%m时，我们可以使用逆元将除法转换为乘法：假设b存在乘法逆元，即与m互质（充要条件）。设c是b的逆元，b*c ≡ 1(%n)，那么(a/b)%mod = (a/b)*1%mod = (a/b*b*c)%mod = (a*c)%mod。
1. 扩展欧几里得算法，求模的逆元就相当于ax+ny = 1，要保证x为正整数。
2. 当p为质数时候用费马小定理x^(p-1)≡1(%p)，x*x^p-2≡1(%p)，x^p-2为逆元。快速幂求逆元。
3. 当p为质数，线性求逆元。i^(-1) ≡ 1(%p) , 设 p = ka+b，则 ka+b ≡ 0(%p)，两边同乘a^(-1)b^(-1)，则
a^(-1) ≡ -k*b^(-1) (%p)，则 a^(-1) = (-p/a * (p%a)^(-1)) (%p)。

也就是说a对p的逆元可以由(p%a)对p的逆元推出。如下：

//一个快速求乘法逆元的模版。。。
inv[0]=0,inv[1]=1;
for(int i=2;i<=N+10;i++)
{
    inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    // i是代表x,mod%i是代表a；
}