AGC020C Median Sum

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本文深入解析AtCoder竞赛中的子集和中位数问题，介绍了一种巧妙的方法来找到所有非空子集和的中位数，通过将子集与其补集配对，利用位运算和bitset数据结构，高效地解决了这一挑战。

原题链接：https://beta.atcoder.jp/contests/agc020/tasks/agc020_c

Median Sum

Problem Statement

You are given $N$ integers $A_1, A_2, \cdots ,A_N$ .

Consider the sums of all non-empty subsequences of $A$ . There are
$2^N−1$ such sums, an odd number.

Let the list of these sums in non-decreasing order be $S_1, S_2,\cdots,S_{2N−1}$ .

Find the median of this list, $S_{2N−1}$ .

Constraints

$1≤N≤2000$
$1≤A_i≤2000$
All input values are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

$N$

$A_1\ A_2\ \cdots\ A_N$

Output

Print the median of the sorted list of the sums of all non-empty subsequences of
$A$ .

Sample Input 1

3
1 2 1

Sample Output 1

In this case, $S=(1,1,2,2,3,3,4)$ . Its median is $S_4=2$ .

Sample Input 2

1
58

Sample Output 2

In this case, $S=(58)$ .

题目大意

输入一个数组 $A_1, A_2, \cdots , A_N$ 。

考虑所有 $2^N − 1$ 个非空子集，每个子集的权值是包含的所有元素之和。问这 $2^N − 1$ 个非空子集的权值的中位数是什么？

题解

虽然题目不让我考虑空集，但我偏要考虑。。。

加上空集的话， $2^N$ 个集合刚好可以两两匹配互为补集，这样 $2^N$ 个子集的中位数就是 $\frac{sum}{2}$ ，去掉空集以后，中位数就是大于等于 $\frac{sum}{2}$ 的第一个子集。

题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=2005;
int n,x,sum;
bitset<M*M>dp;
void in(){scanf("%d",&n);}
void ac()
{
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&x),dp|=dp<<x,sum+=x;
    for(int i=sum+1>>1;i<=sum;++i)if(dp[i])printf("%d",i),exit(0);
}
int main(){in();ac();}