信号与系统研讨（二）归一化正交函数在匹配滤波器中的应用

对于两个函数$u(t)$和$v(t)$，如果
$${\int }_a^{b}u(t)v^{\ast }(t)dt=0$$
则称$u(t)$和$v(t)$在区间$(a,b)$上是正交的。如果另外有
$${\int }_a^b|u(t){|}^{2}dt=1={\int }_a^b|v(t){|}^{2}dt$$
则称这两个函数是归一化的。因此称这两个函数为归一化正交。如果在一个函数集{ϕk(t)}\{\phi_k(t)\}{ϕk​(t)}中，每一对函数都是正交（或归一化正交）的，则称这个函数集为正交（或归一化正交）函数集。

我们发现对于一个实正交函数集${\varphi }_1(t),\cdots ,{\varphi }_N(t)$，若他们仅在时间区间$0\le t\le T$上是非零的。则可以找到一个线性时不变系统，其单位冲激响应为$h_i(t)={\varphi }_i(T-t)$，若输入信号为${\varphi }_j(t)$，当$i=j$时，在时刻$T$，系统的输出是$1$；当$i\ne j$时，在时刻$T$，系统的输出为$0$。其证明如下：

设系统响应为$y(t)$，则在时刻$T$有
$$\begin{array}{rl}y(T)& =h_i(t)\ast {\varphi }_j(t)\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{h}_i(T-\tau ){\varphi }_j(\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^T{\varphi }_i(\tau ){\varphi }_j(\tau )d\tau \end{array}$$
当$i\ne j$时，由于该函数集内均为实函数，故有${\varphi }_i(t)={\varphi }_i^{\ast }(t)$，所以
$$\begin{array}{rl}y(T)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }_i(\tau ){\varphi }_j(\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^T{\varphi }_i(\tau ){\varphi }_j^{\ast }(\tau )d\tau \\ & =0\end{array}$$
而当$i=j$时，有
$$\begin{array}{rl}y(T)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }_i(\tau ){\varphi }_i(\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^T|{\varphi }_i(\tau ){|}^{2}d\tau \\ & =1\end{array}$$

因此，对于一个归一化正交的函数集，系统响应为$h_i(T-t)$的线性时不变系统可以很好地从该集合里找到需要匹配的信号，是一个较为优秀的匹配滤波器。

可以用matlab对这个性质加以验证，这里以函数${\varphi }_k(t)=\frac{1}{\sqrt{T}}[\cos k{\omega }_{0}t+\sin k{\omega }_{0}t]$为例，验证代码如下：

omega0=2.*pi;
T=2.*pi/omega0;
syms x
res=int(phi(T,1,omega0,x)*phi(T,100,omega0,x),0,T);
disp(res);
function r = phi(T,k,omega,t)
  r=1.0./sqrt(T).*(cos(k*omega*t)+sin(k*omega*t));
end

通过不断调整两个函数的$k$值，可以发现只有当$i=j$时，$T$时刻的输出才为$1$，否则为$0$。

特别地，对于函数集${\varphi }_k(t)=e^{jk{\omega }_{0}t}$，由于
$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^T{e}^{j{k}_1{\omega }_{0}t}(e^{j{k}_2{\omega }_{0}t}{)}^{\ast }dt,k_1\ne k_{2}and{k}_1,k_2\in N_{+}\\ =& {\int }_0^T{e}^{j(k_1-k_2){\omega }_{0}t}dt\\ =& \frac{e^{j(k_1-k_2){\omega }_{0}t}}{j(k_1-k_2){\omega }_0}{|}_0^T\\ =& \frac{e^{j(k_1-k_2){\omega }_0\frac{2\pi }{{\omega }_0}}}{j(k_1-k_2){\omega }_0}-1\\ =0& \end{array}$$

其在区间$(0,T=\frac{2\pi }{{\omega }_0})$上是正交的，但由于
$$\begin{array}{r}{\int }_0^T|e^{jk{\omega }_{0}t}{|}^{2}dt={\int }_0^{T}1dt=T\end{array}$$
其并非归一化的函数集，不过通过归一化公式，将该函数变为$\frac{1}{\sqrt{T}}{e}^{jk{\omega }_{0}t}$后，该函数即