Luogu5490 【模板】扫描线（矩形的面积并）

最新推荐文章于 2025-02-16 22:49:59 发布

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本文介绍了一种使用扫描线算法解决多个矩形面积并的问题的方法。通过将二维问题转化为一维问题，利用线段树维护区间覆盖状态，实现高效求解。适用于计算机图形学与算法竞赛。

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5490

【模板】扫描线

题目描述

求 $n$ 个矩形的面积并。

输入格式

第一行一个正整数 $n$ 。

接下来 $n$ 行每行四个非负整数 $x_1, y_1, x_2, y_2$ ，表示一个矩形的左下角坐标为 $x_1, y_1)$ ，右上角坐标为 $x_2, y_2)$ 。

输出格式

一行一个正整数，表示 $n$ 个矩形的并集覆盖的总面积。

输入输出样例

输入 #1
2
100 100 200 200
150 150 250 255
输出 #1
18000

说明/提示

对于 $20\%$ 的数据， $\le n \le 1000$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $\le n \le 10^6, 0 \le x_1 < x_2 \le 10^9, 0 \le y_1 < y_2 \le 10^9$ 。

题解

扫描线的模板题，然而原网页上的数据范围写的 $n\le 10^5$ ，实际数据范围 $10^6$ 就™离谱。

扫描线可以说是一种线段树的运用，也可以说是一种思想：在处理二维的问题时，可以先解决其中一维的问题，再沿着另一维拓展延伸。

对于求矩形面积并的问题，从多维视角上看，矩形面积实际上是一维的线段沿着另一维移动扫过的面积。这个问题转换到一维就是求出每个时刻原图形的截线长度，下图黄线所示就是若干时刻的截线：
在这里插入图片描述
更进一步，我们可以发现截线的长度仅在经过长方形的边时发生改变，所以有用的截线实际上只有这几条：

而截线长度的变化就是因为添加/删去了矩形的边，所以我们把矩形拆成上边和下边，从下往上遍历每个边，遇到下边时对覆盖的区间加一，遇到上边则对覆盖的区间减一；每完成一次更新，就乘以相邻边的高度差，如此就能得到矩形并的面积。

要完成区间加和整体求和的操作，只需要在离散化横坐标的基础上建立线段树维护区间被覆盖次数 $c o v$ 和本区间内被覆盖的总长度 $l e n$ 。

代码

由于横坐标划分的区间是在实数域上的，所以在边界处理上与区间为整数域的线段树有所不同：

#include<bits/stdc++.h>
#define ls v<<1
#define rs v<<1|1
using namespace std;
const int M=1e6+5;
struct Edge{
    int le,ri,h,val;
}edge[M<<1];
bool cmp(Edge a,Edge b){return a.h<b.h;}
struct node{
    int le,ri,len,cov;
}tree[M<<2];
int n,tot,x[M],cot;
long long ans;
void up(int v){tree[v].len=tree[v].cov?tree[v].ri-tree[v].le:tree[ls].len+tree[rs].len;}
void build(int v,int le,int ri)
{
    tree[v].le=x[le],tree[v].ri=x[ri+1];
    if(le==ri)return;
    int mid=le+ri>>1;
    build(ls,le,mid),build(rs,mid+1,ri);
}
void cover(int v,int le,int ri,int val)
{
    if(le<=tree[v].le&&tree[v].ri<=ri)
    {
        tree[v].cov+=val;up(v);
        return;
    }
    if(le<tree[ls].ri)cover(ls,le,ri,val);
    if(tree[rs].le<ri)cover(rs,le,ri,val);
    up(v);
}
void in()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,a,b,c,d;i<=n;++i)
    scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d),edge[++cot]=(Edge){a,c,b,1},edge[++cot]=(Edge){a,c,d,-1},x[++tot]=a,x[++tot]=c;
}
void ac()
{
    sort(x+1,x+1+tot);
    tot=unique(x+1,x+1+tot)-x-1;
    build(1,1,tot-1);
    sort(edge+1,edge+1+cot,cmp);
    for(int i=1;i<=cot;++i)
    {
        ans+=1ll*tree[1].len*(edge[i].h-edge[i-1].h);
        cover(1,edge[i].le,edge[i].ri,edge[i].val);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
    in(),ac();
    //system("pause");
}