数学_简述微分原理

跑6公里用了30分钟（好像稍微快了点ORT），那么这个过程的平均速度是3.33m/s
先来看看这3.33m/s 的计算过程

$$\frac{6Km}{30min}=\frac{200m}{1min}=\frac{3.33m}{1s}$$
从上述看，只要不断缩短时间，直到0，应该就可以定义某个瞬间的速度。

一、引入

在x轴上t时刻位于x(t), t' 时刻位于 x(t')

则该段期间的移动平均速度为：
$$\frac{x(t^{\prime })-x(t)}{t^{\prime }-t}$$
如果两者时间间隔不断缩进：

可见缩短时间间隔t'-t ，前进距离 x(t')- x(t)也逐渐逼近0。
若间隔为0，则t' = t ，x(t') = x(t)，
平均移动速度就算时候，分母为t'-t, 那么可以假设x(t') = x(t) = t^2 用分子消掉：
$$\frac{x(t^{\prime })-x(t)}{t^{\prime }-t}=\frac{t^{\prime 2}-t^2}{t^{\prime }-t}=\frac{(t^{\prime }-t)(t^{\prime }+t)}{t^{\prime }-t}=t^{\prime }+t=2t$$
微分定义为：
$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\underset{t^{\prime }\to t}{\lim }\frac{x(t^{\prime })-x(t)}{t^{\prime }-t}$$

在求极限的时候要将分子分母视为一体，此时的"瞬间速度"才有意义，不然除以0那么该速度没有意义

二、微分是积分的逆运算

整体面积 = 红色面积 + 蓝色面积

用积分表示为:
$${\int }_0^{b}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}+{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}$$

将右边的第一个式子移到左边：
$${\int }_0^{b}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}-{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}$$

将微分定义带入：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{a}}{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{a^{\prime }\to a}{\lim }\frac{{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}-{\int }_0^{a^{\prime }}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}}{a-a^{\prime }}=\underset{a^{\prime }\to a}{\lim }\frac{{\int }_{a^{\prime }}^{a}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}}{a-a^{\prime }}$$
最终主要求分子的值，即求a'接近 a 的时候的面积是多少
由于积分可以知道a与a' 十分接近的时候，其面积为(a-a') * f(a')

所以式子可以转化为：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{a}}{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{a^{\prime }\to a}{\lim }\frac{{\int }_{a^{\prime }}^{a}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}}{a-a^{\prime }}=\frac{(a-a^{\prime })\ast f(a^{\prime })}{a-a^{\prime }}=f(a^{\prime })=f(a)$$
【注：dx = (a - 0) / n = a - a'】

可以发现，对积分进行微分后重新返回了原函数。反之，如果对函数进行微分再积分，那么又回到最初的状态

牛顿和莱布尼茨的"微积分学基本定理"指的就是微分和积分的逆运算

$${\int }_b^a\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=f(b)-f(a)$$

三、指数的微分

$f(x)=e^x$ 的微分

$$\underset{x^{\prime }\to x}{\lim }\frac{e^{x^{\prime }}-e^x}{x^{\prime }-x}=\underset{x^{\prime }\to x}{\lim }\frac{(e^{x^{\prime }-x}-1)e^x}{x^{\prime }-x}$$
因为x' - x ⇒ 0 所以e^(x' - x) ⇒ e^0 ，所以e^(x' - x) - 1⇒ e^0 -1 ⇒ 0
所以：
$$\underset{x^{\prime }\to x}{\lim }\frac{e^{x^{\prime }}-e^x}{x^{\prime }-x}=e^x$$

可见 e^x 的微分就是其本身

根据"微积分学基本定理" ：

对积分进行微分后重新返回了原函数。反之，如果对函数进行微分再积分，那么又回到最初的状态。

所以可以求得e^x 的积分如下：
$${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{dx}\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{b}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}$$