欧拉公式 e^iθ=cosθ+i*sinθ

最新推荐文章于 2024-04-30 08:21:36 发布

挽阳

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分类专栏：学习笔记量子计算文章标签：抽象代数

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相信大多数人都知道大名鼎鼎的数学最美的公式： ${\color{Red} e^{i\pi }+1=0}$

为什么说它是最美的呢？因为它包含了指数里最基本的e，复数里最基本的 i ，圆频率最基本的 π，以及自然数里最基本的0和1。

本质上这个公式是由 ${\color{Red} e^{i\theta }=\cos\theta + i\sin \theta }$ 这个公式推导过来的，把θ换成π即可。

那么这个公式是如何得到的呢？可以使用高等数学里的幂级数展开，进而可以推导得出。

把 $e^{ix}$ 里的ix看成一个整体，根据麦克劳林展开式 $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+...$ ，把x换成ix代进去可以得到：

$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\frac{(ix)^{5}}{5!}+\frac{(ix)^{6}}{6!}+...$

$=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{ix^{5}}{5!}-\frac{x^{6}}{6!}+...$

我们把不含 i 的放一边，含 i 的放在另一边，则可以得到：

$e^{ix}=(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...)+ i (x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...)$

$=\cos x+i\sin x$

所以得证。

（补充，为什么可以泰勒展开，这个需要证明，但此处忽略）

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