树链剖分

最新推荐文章于 2025-01-20 18:33:42 发布

Chiyo小朋友

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分类专栏：树链剖分

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何为树链剖分

树链剖分，顾名思义，就是将一棵树解剖，映射到一个链上，从而进行

1.子树/路径修改

2.子树/路径查询（此处路径为路径上的点）

所涉名词

重儿子 ：设一个节点x的子节点中size最大的是u，则称u为此节点的重儿子。
轻儿子 ：除重儿子外的其他节点。
重边：x与u之间的边。
轻边：与其他儿子的连边。
重链：由重边连成的路径。
轻链：即轻边连成的路径。

一道板子题

代码解析

所涉数组：

in[]/out[]：dfs序;

head[]：存边基本操作；

num[]：映射完成后的链；

dep[]：节点深度；

son[]：重儿子；

fa[]：父节点；

top[]：链头（对于在链上快速跳跃有重大意义）；

siz[]：子树大小；

pos[]：一个节点在链上的位置；

我相信线段树的相关操作你们已经会了，所以只解释其他函数。

预处理

void dfs1(int k)
{
	siz[k]=1;
	for(int i=head[k];i>=0;i=e[i].next)
	if(e[i].y!=fa[k])
	{
		fa[e[i].y]=k;
		dep[e[i].y]=dep[k]+1;
		dfs1(e[i].y);
		siz[k]+=siz[e[i].y];
		if(siz[son[k]]<siz[e[i].y])son[k]=e[i].y;
	}
}
void dfs2(int k,int tp)
{
	top[k]=tp;
	pos[k]=++cnt;
	in[k]=cnt;
	num[cnt]=a[k];
	if(son[k])dfs2(son[k],tp);//是重链时继承
	for(int i=head[k];i>=0;i=e[i].next)
		if(e[i].y!=fa[k]&&e[i].y!=son[k])
		dfs2(e[i].y,e[i].y);//是轻链时分家
	out[k]=cnt;
}

第一个dfs处理出处理了深度，子树大小，重儿子等问题，相当于种下了树苗；

第二个dfs则处理了链头，位置，dfs序等问题，还顺带考虑了轻重链。

这里用到了dfs序，dfs序可以理解为dfs路线的步骤，当走到这一点时记录一下，in[i]=cnt++，离开时再记录一下，out[i]=cnt，于是就得到了下图（点内表示in[i]/out[i]）

很容易发现，子树的dfs序是一个连续的区间，通过这一点，我们可以轻易地将子树修改转化为区间修改。根据需要，用线段树，树状数组，splay（还不会）等数据结构维护即可。

修改

当我们处理完轻重链时，就要考虑修改的问题。

（每个题的修改都是不一样的，我当然只会这个模板里的（逃））

1.将x到y的路径上都加上z。

void addpath()
{
	scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
	z%=p;
	while(top[x]!=top[y])//比较链头
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		add(1,pos[top[x]],pos[x],z);
		x=fa[top[x]];//跳出链
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);//修改之后深度不保证，所以默认一下，便于之后的操作。
	add(1,pos[y],pos[x],z);//y比x浅，肯定比x先遍历到。
}

这里用到了类似于LCA的思想。我们在实际处理时，只需要每次看x与y在不在同一条链上（默认x深于y），不在的话，x跳出此链，并对这条链进行修改。当他们在一条链上时，就可以直接操作了。

如图

寻找8到5 ，8会直接跳到2，再进行操作。

2.将x子树加上z。

直接给in[x]到out[x]加上z就可以了，简单的不行（小声比比）

查询

与修改大同小异，这里就不再赘述了。

代码全貌

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m,R,p;
struct node{
	int x,y,next;
}e[maxn*2];
struct line{
	int l,r,sum,tag;
}t[maxn*4];
int in[maxn],out[maxn],head[maxn],num[maxn];
int dep[maxn],son[maxn],fa[maxn],top[maxn],siz[maxn],pos[maxn];
int a[maxn]; 
int cnt=0;
int tot=0;
int x,y,z;
void ad(int x,int y)
{
	++tot;
	e[tot].x=x;e[tot].y=y;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
}
void dfs1(int k)
{
	siz[k]=1;
	for(int i=head[k];i>=0;i=e[i].next)
	if(e[i].y!=fa[k])
	{
		fa[e[i].y]=k;
		dep[e[i].y]=dep[k]+1;
		dfs1(e[i].y);
		siz[k]+=siz[e[i].y];
		if(siz[son[k]]<siz[e[i].y])son[k]=e[i].y;
	}
}
void dfs2(int k,int tp)
{
	top[k]=tp;
	pos[k]=++cnt;
	in[k]=cnt;
	num[cnt]=a[k];
	if(son[k])dfs2(son[k],tp);
	for(int i=head[k];i>=0;i=e[i].next)
		if(e[i].y!=fa[k]&&e[i].y!=son[k])
		dfs2(e[i].y,e[i].y);
	out[k]=cnt;
}
void biu(int k,int l,int r)
{
	t[k].l=l;t[k].r=r;
	if(l==r){t[k].sum=num[l];return ;}
	int mid=(l+r)>>1;
	biu(k<<1,l,mid);biu(k<<1|1,mid+1,r);
	t[k].sum=t[k<<1].sum+t[k<<1|1].sum;
}
void pushd(int k)
{
	if(t[k].tag)
	{
		if(t[k].l==t[k].r)
	    {
		    t[k].tag=0;return ;
	    }
		t[k<<1].tag+=t[k].tag;t[k<<1].tag%=p;
		t[k<<1|1].tag+=t[k].tag;t[k<<1|1].tag%=p;
		t[k<<1].sum+=t[k].tag*(t[k<<1].r-t[k<<1].l+1);t[k<<1].sum%=p;
		t[k<<1|1].sum+=t[k].tag*(t[k<<1|1].r-t[k<<1|1].l+1);t[k<<1|1].sum%=p;
	}
	t[k].tag=0;
}
void add(int k,int l,int r,int f)
{
	pushd(k);
	if(t[k].l==l&&t[k].r==r)
	{
		t[k].tag=f;
		t[k].sum+=f*(t[k].r-t[k].l+1);
		return ;
	}
	int mid=(t[k].l+t[k].r)>>1;
	if(r<=mid)add(k<<1,l,r,f);
	else if(l>mid)add(k<<1|1,l,r,f);
	else add(k<<1,l,mid,f),add(k<<1|1,mid+1,r,f);
	t[k].sum=t[k<<1].sum+t[k<<1|1].sum;t[k].sum%=p;
}
int ask(int k,int l,int r)
{
	pushd(k);
	if(t[k].l==l&&t[k].r==r)return t[k].sum;
	int mid=(t[k].l+t[k].r)>>1;
	if(r<=mid)return ask(k<<1,l,r);
	else if(l>mid)return ask(k<<1|1,l,r);
	else return (ask(k<<1,l,mid)+ask(k<<1|1,mid+1,r))%p;
}
void addpath()
{
	scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
	z%=p;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		add(1,pos[top[x]],pos[x],z);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	add(1,pos[y],pos[x],z);
}
void addtree()
{
	scanf("%d%d",&x,&z);
	z%=p;
	add(1,in[x],out[x],z);
}
void askpath()
{
	scanf("%d%d",&x,&y);
	int ans=0;
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		ans+=ask(1,pos[top[x]],pos[x]);ans%=p;
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	ans+=ask(1,pos[y],pos[x]);ans%=p;
	printf("%d\n",ans);
}
void asktree()
{
	scanf("%d",&x);
	printf("%d\n",ask(1,in[x],out[x])%p);
}
int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&R,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i]%=p;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		ad(a,b);ad(b,a);
	}
	dfs1(R);
	dfs2(R,R);
	biu(1,1,n);
	int op;
	while(m--)
	{
		scanf("%d",&op);
		if(op==1)addpath();
		else if(op==3)addtree();
		else if(op==2)askpath();
		else asktree();
	}
}