NOIP 2014 day1第二题联合权值

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本文探讨了无向连通图中特定点对产生的最大联合权重及其总和的计算方法，涉及图论和组合数学原理。

题目描述：无向连通图G 有n 个点，n - 1 条边。点从1 到n 依次编号，编号为 i 的点的权值为W i ，每条边的长度均为1 。图上两点( u , v ) 的距离定义为u 点到v 点的最短距离。对于图G 上的点对( u, v) ，若它们的距离为2 ，则它们之间会产生Wu×Wv的联合权值。请问图G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

题解：对于一个点i，它的儿子节点均互相可以形成联合权值，假如儿子权值分别为a,b,c,那么权值和为2*(ab+ac+bc)=（a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2);

于是我们对于每个点，算出一个儿子节点和，平方和，最大值和次大值，这些都是O(n)的，维护次大值要注意细节。

%%%__debug大神。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cctype> 
using namespace std;
const int zqf=10007,MAXN=200001;
vector<int> G[MAXN];
int n,sum[MAXN],x[MAXN],y[MAXN],sqr[MAXN],w[MAXN];
int main()
{
    freopen("link.in","r",stdin);
    freopen("link.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        G[a].push_back(b);
        G[b].push_back(a);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<G[i].size();j++)
        {
            int v=G[i][j];
            sum[i]=(sum[i]+w[v])%zqf;
            sqr[i]=(sqr[i]+w[v]*w[v])%zqf;
            if(w[v]>=x[i])y[i]=x[i],x[i]=w[v];//必须是>=否则次大和最大永远不会相等
            if(w[v]<x[i]&&w[v]>=y[i])y[i]=w[v];
        }
    }
    int maxw=0,sumw=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        maxw=max(maxw,y[i]*x[i]);
        sumw=(sumw+sum[i]*sum[i]-sqr[i])%zqf;
    }
    printf("%d %d\n",maxw,sumw);
}