R squared的几何解释以及和相关系数的关系

这篇博客探讨了在多维空间中如何将随机变量向量化,并通过直线l表示坐标相等的点集。文章介绍了Y到X和l组成的超平面的垂点h以及它们之间的正交关系,阐述了自变量X、应变量Y和截距l在回归分析中的作用。通过比较有无截距的回归结果示意图,帮助读者理解回归模型的不同形态。

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如图。对于X,Y,利用多维空间将随机变量向量化,直线l表示各个坐标相等的点集,h是Y到X和l组成的超平面的垂点,Ph和超平面正交。这里X表示自变量,Y为应变量,l自然就表示截距。左边两图分别表示有无截距地现行回归结果示意图,最右边是无回归下的示意图。

 

### 径向畸变概述 在计算机视觉领域,径向畸变是一种常见的光学现象,主要由镜头设计引起的几何失真。这种失真表现为图像中的直线偏离其理想位置并弯曲成弧线。根据具体的形状变化特征,可以分为 **桶形畸变** **枕形畸变**。 --- ### 桶形畸变定义与原理 桶形畸变是指图像边缘向外膨胀的现象,使得原本平直的线条呈现出外凸的曲线形态。这种情况通常发生在广角镜头上,尤其是在焦距较短的情况下更为明显[^1]。 具体来说,桶形畸变的原因在于镜头无法完全补偿光线传播过程中产生的非线性效应,导致靠近图像中心的部分被放大得更多,而远离中心的位置则相对缩小。因此,整体效果看起来像是一个“桶”的侧面轮廓。 #### 数学描述 对于桶形畸变,可以通过以下公式来建模: \[ x_{\text{distorted}} = x(1 + k_1 r^2 + k_2 r^4) \] \[ y_{\text{distorted}} = y(1 + k_1 r^2 + k_2 r^4) \] 其中 \(r\) 是像素点到图像中心的距离,\(k_1, k_2\) 表示径向畸变参数。当这些参数取正值时,则会产生桶形畸变的效果[^2]。 --- ### 枕形畸变定义与原理 相比之下,枕形畸变正好相反,它会使图像边缘向内收缩,从而让直线变成凹陷进去的形式。这类问题多见于远摄镜头或者长焦端拍摄场景下。由于镜片组结构特性的影响,进入传感器前后的光线路径发生了改变,最终造成了这样的视觉偏差。 同样采用上述数学表达方式解释的话,如果设定负数范围内的值给定至变量 \(k_1,k_2\) 中去计算坐标转换关系就会得到典型的枕头状变形模式了. --- ### 两者区别总结表 | 特征 | 桶形畸变 | 枕形畸变 | |--------------|-----------------------------------|----------------------------------| | 外观表现 | 边缘区域向外扩张 | 边缘区域向内压缩 | | 发生原因 | 广角镜头引起 | 远摄/长焦镜头造成 | | 参数符号方向 | 正值 (\(+k_1,+k_2)\)) | 负值 (\(-k_1,-k_2)\)) | --- ```python import numpy as np import cv2 def apply_radial_distortion(image, k1=0.1, k2=-0.05): h, w = image.shape[:2] map_x = np.zeros((h,w), dtype=np.float32) map_y = np.zeros((h,w), dtype=np.float32) center_x = w / 2 center_y = h / 2 for i in range(h): for j in range(w): dx = j - center_x dy = i - center_y r_squared = dx*dx + dy*dy distorted_x = dx * (1 + k1*r_squared + k2*(r_squared**2)) distorted_y = dy * (1 + k1*r_squared + k2*(r_squared**2)) map_x[i,j] = distorted_x + center_x map_y[i,j] = distorted_y + center_y remapped_image = cv2.remap(image, map_x, map_y, interpolation=cv2.INTER_LINEAR) return remapped_image ``` 此代码片段展示了如何基于指定的 `k1` `k2` 系数值手动施加人工径向扭曲操作过程演示。 ---
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