基础算法：倍增

引入

有这样一个问题：
题目描述
有 $n$ 个点，第 $i$ 个点的编号为 $i$，定义一次的操作为：

• 对于所有的 $i(1\le i\le n)$，将第 $i$ 个点移动到第 $a_i$ 个点的位置。
• 所有操作同时进行。

有 $m$ 次询问，第 $i$ 次询问给定两个正整数 $d_i$ 和 $x_i$，表示询问 $d_i$ 次操作后编号为 $x_i$ 的点是第几个点。
数据范围
$1\le n,m\le 10^6$
$1\le a_i,x_i\le n$
$1\le d_i\le 10^9$

这个时候不可能每次询问都 $O(N)$ 遍历一遍，并且 $m$ 的最大值是 $10^9$，就算只有一个 $O(N)$ 也会超时。
这个时候，倍增登场。

倍增

顾名思义，倍增，成倍增加。
对于一个数 $i$，我们定义 $f_{i,j}$ 为数 $i$ 操作 $2^j$ 次得到的结果。
为什么是 $2^j?$
因为对于任意一个正整数 $x$，都有 $x=2^{a_1}\times 2^{a_2}\times \cdots \times 2^{a_n}$。
$a$ 为一个严格单调递减的正整数序列。
所以，以多个 $j$ 不同的 $2^j$ 一定可以组成目标操作次数。

回到上题中，我们设 $f_{i,j}$ 为编号 $i$ 操作 $2^j$ 次到达的位置。
首先，$f_{i,0}$ 第 $i$ 个点移动 $2^0$，也就是 $1$ 次，到达的点一定是 $a_i$。
对于 $f_{i,j}(j>0)$，因为有：
$$2^x=2^{x-1}+2^{x-1}$$
那么 $f_{i,j}$ 在是 $i$ 移动 $2^{j-1}$ 次到达的位置上再移动 $2^{j-1}$ 次，所以有：
$$f_{i,j}=f_{f_{i,j-1},j-1}$$
接下来就是解决求位置的问题。
由于 $2^j$ 是成倍增长的，所以先确定一下 $j$ 的最大取值。
$2^{30}=1073741824‬$，约等于 $10^9$，因此 $j$ 的最大取值是 $30$。
假设问题是在 $d$ 次操作后编号 $x$ 的位置。
从最大取值 $30$ 开始枚举系数 $i$，向低系数枚举，如果遇到 $2^i\le d$，就将 $x$ 转移到 $f_{x,i}$，并且将 $d$ 减去 $2^j$。
这样枚举不会出现遗漏，因为如果 $2^j\le \lfloor \frac{b}{2}\rfloor$，那么在 $2^{j+1}$ 的时候也会满足条件，早就被减掉了。
系数 $i$ 一直枚举到 $0$ 位置，最后的 $x$ 就是答案了。

倍增求LCA

LCA，树上最近公共祖先。
对于树上的倍增，我们用 $f_{i,j}$ 表示点 $i$ 向上跳 $j$ 步到达的点，若点 $i$ 就是根节点，那么向上跳就没有点了。

对于向上跳之后两个点跳到了同一个点，就找到了 LCA。

具体过程

1. 任意选取一个点作为根节点，求出树上每一个点的深度。
2. 求点 $x$ 和点 $y$ 的 LCA，首先将两个点中更深的点向上跳，使两点深度相同。
3. 两者一起向上跳，知道到达一个相同的点。
4. 2，3 两步可以用倍增优化。

模版题：P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int n,m,s;
vector<int>a[N];
int dep[N];
int f[N][50];//倍增数组
queue<int>q;
void bfs(){
	dep[s]=1;
	q.push(s);
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<a[x].size();i++){
			int v=a[x][i];
			if(dep[v]!=0)continue;
			q.push(v);
			dep[v]=dep[x]+1;
			f[v][0]=x;
			for(int j=1;j<=20;j++)f[v][j]=f[f[v][j-1]][j-1];
		}
	}
}
int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}
signed main(){
	cin>>n>>m>>s;
	int u,v;
	for(int i=1;i<n;i++){
		cin>>u>>v;
		a[u].push_back(v);
		a[v].push_back(u);
	}
	bfs();
	while(m--){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		cout<<lca(x,y)<<'\n';
	}
}

应用

例题：P13019 [GESP202506 八级] 树上旅行
开两个倍增数组，一个存向上跳，另一个存向下跳。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n,m,k;
int up[N][31];
int down[N][31];
int fa[N],son[N];
int a[N];
signed main(){
	//ios::sync_with_stdio(0);
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)son[i]=1e9;
	for(int i=2;i<=n;i++)fa[i]=read(),son[fa[i]]=min(son[fa[i]],i);
	fa[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(son[i]>=1e9)son[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)up[i][0]=fa[i],down[i][0]=son[i];
	for(int len=1;len<31;len++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			up[j][len]=up[up[j][len-1]][len-1];
			down[j][len]=down[down[j][len-1]][len-1];
		}
	}
	while(m--){
		int s=read();
		k=read();
		for(int i=1;i<=k;i++)a[i]=read();
		for(int i=1;i<=k;i++){
			if(a[i]>0){
				for(int j=30;j>=0&&a[i];j--){
					if((1<<j)>a[i])continue;
					a[i]-=(1<<j);
					s=up[s][j];
				}
			}
			else{
				a[i]=0-a[i];
				for(int j=30;j>=0&&a[i];j--){
					if((1<<j)>a[i])continue;
					a[i]-=(1<<j);
					s=down[s][j];
				}
			}
		}
		print(s),endl;
	}
}