前缀和的发疯是终生的

当一个人类定义了一个这样的数组：

int a[M][M][M][M];

当一个人类又得到了两根木棍……

容斥原理

两根木棍如下摆放：

长度分别为 $4$，$7$，中间重叠了 $2$，总长本应该是 $4+7=11$，但是由于中间的重叠，所以总长是 $11-2=9$。
紧接着我们充分发挥人类智慧，两个集合 $A$ 和 $B$，有
$$A\cup B=A+B-A\cap B$$
对于三个集合 $A$、$B$、$C$，有
$$A\cup B\cup C=A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C$$
注意到这里的三集合交集被前面减去两两交集时多减了一次，所以应该加回来。
到这里，可以发现，求多个集合的并集，应该先加上所有集合，再减去相加时重复的，再加上减去时重复的，再减去加上时重复的……
所以……

四维前缀和

根据容斥原理，很好得出四维前缀和的推导公式。

求多个集合的并集，应该先加上所有集合，再减去相加时重复的，再加上减去时重复的，再减去加上时重复的……

四维数组 $S$ 中，$S_{i-1,j,k,l}$ 与 $S_{i,j-1,k,l}$ 的重叠部分是$S_{i-1,j-1,k,l}$，剩余同理，接着，$S_{i-1,j-1,k,l}$ 与 $S_{i,j-1,k-1,l}$ 的重叠部分是 $S_{i-1,j-1,k-1,l}$，最后，$S_{i-,j-1,k-1,l}$ 与 $S_{i-1,j-1,k,l-1}$ 的重叠部分是$S_{i-1,j-1,k-1,l-1}$
so……
$$\begin{gathered} S_{i,j,k,l}=a_{i,j,k,l}+S_{i-1,j,k,l}+S_{i,j-1,k,l}+S_{i,j,k-1,l}+S_{i,j,k,l-1} \\ -S_{i-1,j-1,k,l}-S_{i-1,j,k-1,l}-S_{i-1,j,k,l-1}-S_{i,j-1,k-1,l} \\ -S_{i,j-1,k,l-1}-S_{i,j,k-1,l-1}+S_{i-1,j-1,k-1,l}+S_{i-1,j-1,k,l-1} \\ +S_{i-1,j,k-1,l-1}+S_{i,j-1,k-1,l-1}-S_{i-1,j-1,k-1,l-1} \end{gathered}$$
区间求和的公式可以逆推。
同理，剩下的 $N$ 维前缀和也可以这样推出。