数论 之 筛法总结（艾托拉斯特尼筛法+欧拉筛法）

1.筛法：

 

2.埃拉托斯特尼筛法（素数/质数筛选法）：

2.1 步骤：

     给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；重复进行......

详细列出算法如下：

1. 将2的倍数（用红色标出），序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2. 如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。

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1. 本例中，因为25大于2的平方，我们再重新执行：
2. 剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划出（红色），主序列变成：  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3. 我们得到的素数有：2，3
4. 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
5. 现在序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划出，主序列成了：  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
6. 我们得到的素数有：2 3 5 。
7. 因为25等于5的平方，跳出循环.

去掉有颜色的数字，2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

2.2 代码模板：

 

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define MAXN 100000000
int primes[MAXN],tot=0;
bool isPrime[MAXN];
 
void getPrime(int n)
{
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));//一开始假设所有数都成立 
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(isPrime[i])
        {
            primes[++tot]=i;
            for(int j=i+i;j<n;j+=i)//成倍数增加，对应详细算法介绍部分 
                isPrime[j]=false;
        }
    }
    for(int j=1;j<=tot;j++)
    {
    	printf("%d\n",primes[j]);
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	getPrime(n);
	return 0;
}

 3.欧拉筛法：

3.1欧拉筛介绍：
   欧拉筛又称线性筛，可以在线性的时间内筛出素数，因此在时间上要优于埃拉托斯特尼筛法。

3.2代码：

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define MAXN 100000000
int primes[MAXN],tot=0;
bool isPrime[MAXN];
void getPrime(int n)
{
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(isPrime[i])
            primes[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(i*primes[j]>=n) 
			   break;
            isPrime[i*primes[j]]=false;
            if(i%primes[j]==0)
			  break;
        }
    }
    for(int j=1;j<=tot;j++)
    {
    	printf("%d\n",primes[j]);
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	getPrime(n);
	return 0; 
}

3.2.1一行神奇的代码：

if(i%prime[j]==0)break;

这行代码神奇地保证了每个合数只会被它的最小素因子筛掉，就把复杂度降到了O(N)。

 

4.参考：

4.1埃拉托斯特尼筛法介绍

4.2埃拉托斯特尼筛法模板参考

4.3欧拉筛讲解