noip模拟T1题解

原创已于 2023-11-14 17:37:27 修改 · 112 阅读

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#c++ #数据结构 #算法

于 2023-11-13 21:37:34 首次发布

文章介绍了一种使用质因数分解优化算法解决给定数m分解问题，最大化因子数乘积的方法，涉及C++代码实现和优先分解策略。

题意：给定数m，将m分解成若干个数的乘积，将原数ai乘上这些数，使得处理后的因子数乘积最大，求贡献。复杂度要求 $O(n^2)$

解法：

可以令 $f[i][j]=f[i-1][j*k](j*k<=m)$ ，有状态 $f[i][j]=f[i-1][j]$ ，结合特殊性质可以拿到65pts

正解：

质因数分解

讨论最终的贡献。对于每个数x，记f i，j 表示第i个数被质因数j分解的次数。当这个质因数分解次数固定时，将m对当前质数分解，被分解后分解次数+1，优先分解次数较小的数。比如2*3->3*3,->2*4，显然后续贡献较小，则有 $x*(y+1)>(x+1)*y (x>y)$ ，因为 $xy+y>xy+x(x<y)$

$ans=\prod q.top()+1$ ，次数会多一次

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,x,y)  for(int i=x;i<=y;i++)  
using namespace std;

const int N = 1e4 + 10 , M = 1500 , mod = 998244353;
int n,w,a[N],pri[N],cnt,ans=1;
bool v[N];
void ai(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!v[i]){
			v[i]=true;pri[++cnt]=i;
			for(int j=2;i*j<N;j++)
			  v[i*j]=true;
		}
	}
}
int f[M][N];priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
signed main(){
	cin>>n>>w;
	ai();
	rep(i,1,n){
		int x;
		cin>>x;
		if(x>1){
			rep(j,1,cnt){
				//cout<<pri[j]<<endl;
				while(x%pri[j]==0){
					f[j][i]++;
					x/=pri[j];
				}
			}
		}
	}
	rep(T,1,cnt){
		rep(i,1,n)  q.push(f[T][i]);
		while(w%pri[T]==0){
			int t=q.top();q.pop();
			q.push(++t);w/=pri[T];
		}while(q.size()){
			cout<<q.top()+1<<" ";
			ans*=(q.top()+1);ans%=mod;
			q.pop();
		}cout<<endl;
	}cout<<ans;
	return 0;
}

几点补充：将数x分解成 $x1^{p1}+x2^{p2}+x2^{p3}+...$ 后，它的因子数为 $\prod_{1}^{n}pi+1$ ，那么只要分解m即可