洛谷P2258 子矩阵——题解

最新推荐文章于 2025-06-14 18:42:24 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/InductiveSorting-QYF/p/11095230.html

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#数据结构与算法

本文分享了一道关于二维最优化选择的DP题目解答，通过搜索枚举出行的所有选择，预处理列分值和列间分值贡献，实现一维DP求解，最终达到O(C(n,r)*rm^2)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目传送

表示一开始也是一脸懵逼，虽然想到了DP，但面对多变的状态不知从何转移及怎么合理记录状态。之（借鉴大佬思路）后，豁然开朗，于是在AC后分享一下题解。

发现数据范围出奇地小，不过越是小的数据范围，算法的灵活性就越大。小数据对我们各个算法的组合及时间复杂度的掌握要求很高。面对二维的最优化选择，其实我们可以先通过搜索枚举出行的所有选择，存到一个数组team中，然后在行已经确认的情况下，跑一遍一维的DP：设dp[j][i]为在前j列选择i列的最优情况（为了方便，要求第i选择的列一定是第j列）。则状态转移方程就可写成：dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i-1]+lc[j]+hc[k][j]），其中lc为第j列的分值，hc[k][j]为第k列和第j列横向相邻元素对分值的贡献，k=i-1,i-1+1,...,j-1。对于lc和hk

我们可以在每次搜索完成后预处理一下，整个程序的时间复杂度即为O（C（n,r）*rm²）,足以解出题。

代码上有一个小优化，详情见注释：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 int n, m, r, c, num[17][17], ans = 0x7fffffff, team[17], lteam;
 8 int lc[17];     //列
 9 int hc[17][17]; //列之间
10 int dp[17][17];
11 
12 void init()
13 {
14     for (int i = 1; i <= m; i++)
15     {
16         lc[i] = 0;
17         for (int j = 1; j < r; j++)
18             lc[i] += abs(num[team[j]][i] - num[team[j + 1]][i]);
19     }
20     for (int i = 1; i < m; i++)
21         for (int j = i + 1; j <= m; j++)
22         {
23             hc[i][j] = 0;
24             for (int k = 1; k <= r; k++)
25                 hc[i][j] += abs(num[team[k]][i] - num[team[k]][j]);
26         }
27 }
28 
29 void DP()
30 {
31     for (int i = 1; i <= m; i++)
32         dp[i][1] = lc[i];
33     if (c == 1)
34     {
35         for (int i = 1; i <= m; i++)
36             ans = ans > dp[i][1] ? dp[i][1] : ans;
37         return;
38     }
39     for (int i = 2; i <= c; i++)
40     {
41         for (int j = i; j <= m - c + i; j++)
42         {
43             dp[j][i] = 0x2fffffff;
44             for (int k = j - 1; k >= i - 1; k--)
45                 dp[j][i] = min(dp[j][i], dp[k][i - 1] + lc[j] + hc[k][j]);
46         }
47     }
48     for (int i = c; i <= m; i++)
49         ans = min(ans, dp[i][c]);
50 }
51 
52 void dfs(int now)
53 {
54     if (now > n)//选择完毕
55     {
56         init();
57         DP();
58         return;
59     }
60     if (r - lteam == n - now + 1)//当剩下的元素与还要选择的元素的数量相等时，必须要选
61     {
62         team[++lteam] = now;
63         dfs(now + 1);
64         --lteam;
65         return;
66     }
67     dfs(now + 1);//当前行要么不选
68     if (lteam < r)//要么在符合条件的情况下选
69     {
70         team[++lteam] = now;
71         dfs(now + 1);
72         --lteam;
73     }
74 }
75 
76 int main()
77 {
78     scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &c);
79     for (int i = 1; i <= n; i++)
80         for (int j = 1; j <= m; j++)
81             scanf("%d", &num[i][j]);
82     dfs(1);
83     printf("%d", ans);
84     return 0;
85 }