【洛谷P1314】聪明的质监员【二分】

最新推荐文章于 2023-11-02 13:58:46 发布

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本文介绍了一种通过调整参数W来优化矿产检验结果的算法，目标是最小化检验结果与标准值S之间的绝对差值。算法利用了二分搜索和前缀和技巧，实现了时间复杂度为O((n+m)log max(W))的高效解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

小T是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

给定 $m$ 个区间 $L_i，R_i]$
选出一个参数 $W$
对于一个区间 $L_i，R_i]$ ，计算矿石在这个区间上的检验值 $Y_i$ :
$Yi=∑j=LiRi1×∑j=LiRivj(wj≥W)Y_i=\sum^{R_i}_{j=L_i}1\times \sum^{R_i}_{j=L_i}v_j(w_j\geq W)$
这批矿产的检验结果 $Y$ 为各个区间的检验值之和。若这批矿产的检验结果与所给标准值 $S$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 $W$ 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $S$ ，即使得 $S - Y$ 的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。

思路：

首先不考虑最小值，设 $a n s [i]$ 表示 $W$ 为 $i$ 时最终的 $Y$ 值。当 $W$ 的值增大时，显而易见 $ans_W$ 时增大的。所以这是一个单调上升的序列，即
在这里插入图片描述

假定 $s$ 的位置
在这里插入图片描述
那么答案肯定就是选择 $W = 3$ 或 $W = 4$ 了。
如何得到的呢？
很明显， $W = 3$ 就是二分出第一个ans不超过s的位置, $W = 4$ 就是二分出第一个ans不少于s的位置！
然后只要在 $a b s (a n s [3] - s)$ 和 $a b s (a n s [4] - s)$ 中取一个最小值就可以了。
每次 $O (n + m)$ 前缀和求出 $a n s$ ，再套上二分答案，时间复杂度 $max(W))O((n+m)\ log\ max(W))$ ，其中 $m a x (W)$ 定值为 $10^6$ 。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=200010;
int n,m,l,r,mid,w[N],v[N],x[N],y[N];
ll s,ans,minn1,minn2,Read;
char ch;

ll read()
{
	Read=0;
	ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9')
		Read=(Read<<3)+(Read<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return Read;
}

struct node
{
	ll v,s;
}sum[N];

ll ask(int h)
{
	ans=0;
	sum[0].s=sum[0].v=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (w[i]>=h)  //不小于W
		{
			sum[i].s=sum[i-1].s+1;  //个数
			sum[i].v=sum[i-1].v+(ll)v[i];  //价值
		}
		else 
		{
			sum[i].s=sum[i-1].s;
			sum[i].v=sum[i-1].v;
		}
	for (int i=1;i<=m;i++)
		ans+=(ll)(sum[y[i]].s-sum[x[i]-1].s)*(ll)(sum[y[i]].v-sum[x[i]-1].v);  //枚举区间求ans
	return ans;
}

int main()
{
	n=read(),m=read(),s=read();
	for (int i=1;i<=n;i++)
		w[i]=read(),v[i]=read();
	for (int i=1;i<=m;i++)
		x[i]=read(),y[i]=read();
	minn1=minn2=1e17;
	l=0;
	r=1000000;
	while (l<=r)
	{
		mid=(l+r)/2;
		if (ask(mid)>=s) l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	minn1=ask(l-1); 
	l=0;
	r=1000000;
	while (l<=r)
	{
		mid=(l+r)/2;
		if (ask(mid)<=s) r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	minn2=ask(r+1);
	cout<<min(abs(minn1-s),abs(minn2-s));
	return 0;
}