[数论][欧拉函数]机器人M号

题目描述

3030年，Macsy正在火星部署一批机器人。 第1秒，他把机器人1号运到了火星，机器人1号可以制造其他的机器人。 第2秒，机器人1号造出了第一个机器人——机器人2号。 第3秒，机器人1号造出了另一个机器人——机器人3号。 之后每一秒，机器人1号都可以造出一个新的机器人。第m秒造出的机器人编号为m。我们可以称它为机器人m号，或者m号机器人。 机器人造出来后，马上开始工作。m号机器人，每m秒会休息一次。比如3号机器人，会在第6，9，12，……秒休息，而其它时间都在工作。 机器人休息时，它的记忆将会被移植到当时出生的机器人的脑中。比如6号机器人出生时，2，3号机器人正在休息，因此，6号机器人会收到第2，3号机器人的记忆副本。我们称第2，3号机器人是6号机器人的老师。 如果两个机器人没有师徒关系，且没有共同的老师，则称这两个机器人的知识是互相独立的。注意：1号机器人与其他所有机器人的知识独立（因为只有1号才会造机器人），它也不是任何机器人的老师。 一个机器人的独立数，是指所有编号比它小且与它知识互相独立的机器人的个数。比如1号机器人的独立数为0，2号机器人的独立数为1（1号机器人与它知识互相独立），6号机器人的独立数为2（1，5号机器人与它知识互相独立，2，3号机器人都是它的老师，而4号机器人与它有共同的老师——2号机器人）。 新造出来的机器人有3种不同的职业。对于编号为m的机器人，如果能把m分解成偶数个不同奇素数的积，则它是政客，例如编号15；否则，如果m本身就是奇素数或者能把m分解成奇数个不同奇素数的积，则它是军人，例如编号 3, 编号165。其它编号的机器人都是学者，例如编号2, 编号6, 编号9。 第m秒诞生的机器人m号，想知道它和它的老师中，所有政客的独立数之和，所有军人的独立数之和，以及所有学者的独立数之和。可机器人m号忙于工作没时间计算，你能够帮助它吗？ 为了方便你的计算，Macsy已经帮你做了m的素因子分解。为了输出方便，只要求输出总和除以10000的余数。

Input
输入文件的第一行是一个正整数k(1<=k<=1000)，k是m的不同的素因子个数。 以下k行，每行两个整数，pi, ei,表示m的第i个素因子和它的指数(i = 1, 2, …, k)。p1, p2, …, pk是不同的素数。所有素因子按照从小到大排列，即p1 < p2 <… < pk。输入文件中，2<=pi<10,000, 1<=ei<=1,000,000。

Output
输出文件包括三行。 第一行是机器人m号和它的老师中，所有政客的独立数之和除以10000的余数。 第二行是机器人m号和它的老师中，所有军人的独立数之和除以10000的余数。 第三行是机器人m号和它的老师中，所有学者的独立数之和除以10000的余数。

Sample Input
3 2 1 3 2 5 1

Sample Output
8 6 75

分析

这题扯得有点牵强= =
独立数其实就是欧拉函数值啦
有三个值：
1、奇数个奇素数的积的数的欧拉函数总值[f]
2、偶数个……[g]
3、除此之外的数的欧拉函数总值
然后我们因为知道欧拉函数具有如下性质：
φ(a*b)=φ(a)*φ(b)
φ(p)=p-1 （p为素数）
所以我们发现1、2是可以互相转换的即
f[i]=g[i-1]*(p[i]-1)+f[i-1]
g[i]=f[i-1]*(p[i]-1)+g[i-1]
然后通过很复杂看题解的过程知道3的值就是m-f[k]-g[k]

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define rep(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)
const int N=1001;
const int q=10000;
using namespace std;
int k;
struct num {
    int p,c;
}a[N];
int p[N],s[N],m=1;

int Power(int x,int y) {
    int ans=1;
    while (y) {
        if (y&1) ans=ans*x%q;
        x=x*x%q;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int i;
    scanf("%d",&k);
    rep(i,1,k)
    scanf("%d%d",&a[i].p,&a[i].c);
    p[0]=1;
    if (a[1].p==2) p[1]=1;
    else s[1]=a[i].p-1;
    rep(i,1,k) {
        if (a[i].p==2) continue;
        p[i]=(s[i-1]*(a[i].p-1)%q+p[i-1])%q;
        s[i]=(p[i-1]*(a[i].p-1)%q+s[i-1])%q;
    }
    rep(i,1,k) m=m*Power(a[i].p,a[i].c)%q;
    printf("%d\n%d\n%d",p[k]-1,s[k],((m-s[k]-p[k])%q+q)%q);
}