[数论][扩欧]荒岛野人

最新推荐文章于 2024-04-14 08:42:57 发布

Vagari_

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/SSL_QYH0Ice/article/details/80973314

本文通过模拟克里特岛上野人顺时针迁徙至不同山洞的过程，探讨了野人在有生之年内不会相遇所需的最少山洞数量。采用同余方程解决冲突问题，并通过迭代方法找到符合条件的最小值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。

这里写图片描述

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

Input
输入文件的第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=10^6 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

Output
输出文件仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。

Sample Input
3 1 3 4 2 7 3 3 2 1

Sample Output
6

分析

我们要求这样一个东西：
判断哪两个人（设为i，j）
过了x年
那么有：
Pi*x-Pj*x≡Cj-Ci (mod m)
(Pi-Pj)*x=Cj-Ci+my
(Pi-Pj)*x-my=Cj-Ci
这不就是同余方程嘛
a=Pi-Pj b=-m c=Cj-Ci
ax+by=c

然后挨个解这个方程，如果x在两人的最小寿命范围内的话，证明两人可以相遇，所以该m值不成立
时间复杂度O(10^6*15^2)
不要问我为什么没T= =

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define rep(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int n;
struct Peo {
    int c,p,l;
}a[16];
int m;

int Exgcd(int a,int b,int c,int &x,int &y) {
    if (!b) {
        x=c/a;y=0;
        return a;
    }
    int t=Exgcd(b,a%b,c,y,x);
    y-=a/b*x;
    return t;
}

int main() {
    int i,j,mx;
    scanf("%d",&n);
    rep(i,1,n)
    scanf("%d%d%d",&a[i].c,&a[i].p,&a[i].l),mx=max(mx,a[i].c);
    rep(m,mx,1000000) {
        bool b=1;
        rep(i,1,n-1)
        {
            rep(j,i+1,n) {
                int x,y;
                int gcd=Exgcd(a[i].p-a[j].p,m,a[j].c-a[i].c,x,y);
                if ((a[i].c-a[j].c)%gcd) continue;
                int g=abs(m/gcd);
                x=(x%g+g)%g;
                if (x>0&&x<=min(a[i].l,a[j].l)) {
                    b=0;
                    break;
                }
            }
            if (!b) break;
        }
        if (b) break;
    }
    printf("%d",m);
}