[数论][组合数学]棋盘游戏

题目描述

有一个N*M的棋盘，初始每个格子都是白色的。
行操作是指选定某一行，将这行所有格子的颜色取反（黑白互换）。
列操作是指选定某一列，将这列所有格子的颜色取反。
XX进行了R次行操作C次列操作（可能对某行或者某列操作了多次），最后棋盘上有S个黑色格子。
问有多少种不同的操作方案。两种操作方案不同，当且仅当对某行或者某列操作次数不同（也就是说与操作的顺序无关）。
方案数可能很大，输出它对10^9+7取模的结果。

Input
输入只有5个整数N，M，R，C，S。

Output
输出有且仅有一个整数，表示答案对10^9+7取模的结果。

Sample Input
2 2 2 2 4

Sample Output
4

Data Constraint
对于20%的数据，满足N，M，R，C≤4。
对于60%的数据，满足N，M，R，C≤1500。
对于100%的数据，满足N，M，R，C≤100000，0≤S≤N*M。

分析

首先容易知道反转偶数次就等于没有操作
那么假设我们进行了行的有效操作x次，列的有效操作y次那么容易知道：

$$S=xm+yn-2xy$$
然后乱搞移一下
$$y=\frac{S-xm}{n-2x}$$
显然我们可以通过枚举x或y来获得另一个
然后我们发现分母在$x=\frac{n}{2}$时为0
然后又发现$x=\frac{n}{2}$时y值不影响S值，$S\equiv\frac{n*m}{2}$
所以显然有：
当$x\neq\frac{n}{2}$时，

$ans=C^n_x\times C^m_y\times C^{\frac{r-x}{2}+n-1}_{n-1}\times C^{\frac{c-y}{2}+m-1}_{m-1}$

当$x=\frac{n}{2}$且$S=\frac{n*m}{2}$时，

$ans=C^n_x\times C^{\frac{r-x}{2}+n-1}_{n-1}\times C^{c+m-1}_{m-1}$

然后注意是否大于0，是否偶数什么的即可
第一次用Latex，公式若有错误请指出

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define rep(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)
const long long MOD=1e9+7;
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,m,r,c;
ll ans,s;
ll f[200001],ny[200001];

ll Power(ll x,ll y) {
    ll ans=1;
    while (y) {
        if (y&1) ans=ans*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

ll C(int m,int n) {
    if (n<0||m<0||n-m<0) return 0;
    return f[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD;
}

int main() {
    int i,x,y;
    f[0]=ny[0]=1;
    rep(i,1,200000) {
        f[i]=f[i-1]*i%MOD;
        ny[i]=ny[i-1]*Power(i,MOD-2)%MOD;
    }
    scanf("%d%d%d%d%lld",&n,&m,&r,&c,&s);
    rep(i,0,min(r,n)) {
        if (i*2!=n) {
            if ((s-(long long)i*m)%(n-2*i)!=0) continue;
            int j=(s-(long long)i*m)/(n-2*i);
            if ((r-i)&1||(c-j)&1||c-j<0||j<0) continue;
            ans=(ans+C(i,n)*C(j,m)%MOD*C(n-1,(r-i)/2+n-1)%MOD*C(m-1,(c-j)/2+m-1)%MOD)%MOD;
        }
        else
        if ((ll)2*s==(ll)n*m) {
            if ((r-i)&1) continue;
            ans=(ans+C(i,n)*C(n-1,(r-i)/2+n-1)%MOD*C(m-1,c+m-1)%MOD)%MOD;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
}