离散数学图论整理

明天就要考试了紧急整理一波基础知识

图的基本概念

• 无向图G=<V,E>
  • 无向边(v_j,v_k)，顶点数|V(G)|，边数|E(G)|
  • 表示
    • 关联矩阵：m_ij表示关联次数，e_i和v_j
• 有向图D=<V,E>
  • 有向边e_k=<v_j,v_k>，顶点数|V(D)|，边数|E(D)|
  • 关联：e_k和v_i/v_j的关系
  • 关联次数：端点不相关联为0，关联且端点不同为1，环为2
  • 邻域：与顶点v相邻的所有点组成的集合（不包括自身）
  • 闭邻域：v的邻域+v
  • 关联集：与v关联的所有边的集合
  • 表示
    • 邻接矩阵：a_ij⁽¹⁾表示v_i邻接到v_j边的条数
    • 可达矩阵：可达为1，不可达为0（默认p_ii=1）
• 零图：无边的仅由孤立点组成的图
• 平凡图：1阶零图
• 度数d(v)：端点次数之和
  • 最大度：Δ(G)
  • 最小度：δ(G)
  • 悬挂定点：度数为1的顶点
  • 悬挂边：和悬挂顶点相关联的边
• 完全图
  • 无向完全图K_n：边数m=n(n-1)/2,度Δ=δ=n-1
  • 有向完全图：边数m=n(n-1),入度/出度Δ⁺=Δ^-=δ⁺=δ^-=n-1,度Δ=δ=2(n-1)
• （有向简单图）竞赛图：基图为K_n
  • n(n>=2)阶竞赛图中都有哈密顿通路
• （无向简单图）k-正则图：每个顶点度为k
• 子图/母图/真子图
  • 生成子图：顶点和母图相同的子图
  • V^’导出子图G[V’]：顶点集+和这些顶点关联的所有边作为边集
  • E^’导出子图G[E’]：边集+和这些边关联的顶点作为顶点集
• 补图：顶点集和原图G相同，边集和原图G相加为K_n
• 一些操作
  • G-e删除边
  • G-E’删除边集中的边
  • G-v’/G-V’
  • 收缩边e G\e：删除e后将e的两个端点用一个新顶点代替
    通路和回路部分
• 通路/回路：顶点和边交替的序列（回路满足起点=终点）
• 简单通路/回路：边各异
  • 初级通路（路径）/回路（圈）：顶点各异边各异
    - 奇/偶圈：长度为奇/偶的圈
• 复杂通路/回路：边不各异
• 迹：边不重
• u和v连通u~v：u和v之间有通路(有向图叫可达)
• 连通图/非连通图
  • 连通分支p(G)：等价类导出子图个数（连通图p(G)=1）
• 短程线：u和v之间长度最短的通路
  • 距离：短程线长度（不连通距离为∞）
• 点割集：去掉某些点之后连通分支数增加，且只去掉该集合中的部分点连通分支数不增加
  • 割点：元素数为1的点割集中的元素
• 边割集：去掉某些边之后连通分支数增加，且只去掉该集合中的部分边连通分支数不增加
  • 割边/桥：元素数为1的边割集中的元素
• 点连通度k(G)[符号是比k稍微矮一点的样子，打不出来]：点割集中元素最少的个数
  • k-连通