JZOJ__Day 3:【NOIP普及模拟】数数(count)

动态规划解决路径积分问题

最新推荐文章于 2020-08-11 14:18:44 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-11 14:18:44 发布 · 460 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

jzoj比赛专栏收录该内容

206 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种使用动态规划算法解决特殊路径寻找问题的方法，该问题是在一个N*M的矩阵中找到从起点到终点所有可能路径中积分总和等于特定值P的路径数量。

题目描述

ftiasch 开发了一个奇怪的游戏，这个游戏的是这样的：一个长方形，被分成N 行M 列的格子，第

i 行第j 列的格子记为(i; j)，就是说，左上角的格子是(1; 1)，右下角的格子是(N;M)。开始的时候，

nm 在(1; 1)，他需要走到(N;M)。每一步，nm 可以走到正右方或者正下方的一个格子。具体地说，如

果nm 现在在(x; y)，那么他可以走到(x; y + 1) 或(x + 1; y)。当然，nm 不能走出离开这个长方形。

每个格子有积分，用一个1 10 的整数表示。经过这个格子，就会获取这个格子的积分（起点和终

点的积分也计算）。通过的方法是：到达(N;M) 的时候，积分恰好为P。

现在给出这个长方形每个格子的积分，你需要帮助nm，求出从起点走到终点，积分为P 的线路有

多少条。

输入

第1 行，3 个整数N, M, P。接下来N 行，每行M 个整数Aij，表示格子(i; j) 的积分。

输出

第1 行，1 个整数，表示积分为P 线路的数量。因为数值太大，你只需要输出结果除以(109 +7) 的

余数。

样例输入

样例输出

数据范围限制

提示

数据范围

• 对于50% 的数据，1<= N;M <= 10。

• 对于100% 的数据，1 <= N;M <= 100，0 <= Aij<= 10。

分析

这题用深搜最好只能拿50分，所以要用另一种算法：动态规划。

设f[i,j,k]表示：走到格子[i,j]时累计值为k的方案数

动态转移方程：f[i,j,k]:=f[i,j,k]+f[i-1,j,k-a[i,j]]+f[i,j-1,k-a[i,j]]

因为数值太大，你只需要输出结果除以 (10^9 + 7) 的余数

所以以上的动态转移方程准确来说应是：

f[i,j,k]:=(f[i,j,k]+f[i-1,j,k-a[i,j]]+f[i,j-1,k-a[i,j]])mod1000000007

程序：

var
n,m,p,i,j,k:longint;
f:array[0..101,0..101,-10..1501]of int64;
a:array[0..100,0..100]of longint;
begin
    readln(n,m,p);
    for i:=1 to n do
    for j:=1 to m do
    read(a[i,j]);
    f[0,1,0]:=1;
    for i:=1 to n do
    for j:=1 to m do
    for k:=a[i,j] to p do
    f[i,j,k]:=(f[i,j,k]+f[i-1,j,k-a[i,j]]+f[i,j-1,k-a[i,j]]) mod 1000000007;
    write(f[n,m,p] mod 1000000007);
end.