CF 189A DP

有一条长度为N的布，要将其尽可能多的分为不同的子段，且要求每一个子段的长度为 a，b，或c。（a，b，c 可能相同）

N的范围为（1， 4000）

这道题我只想到了暴力的做法，三个for找可行解，然后更新最值。

int main ()
{
    int n, a[3], tot = 0;
    cin>>n>>a[0]>>a[1]>>a[2];
    sort(a, a + 3);
    for (int i = n / a[0]; i >= 0; i--) {
        for (int j = (n - i * a[0]) / a[1]; j >= 0; j--) {
            int t = (n - i * a[0] - j * a[1]);
            if (t >= 0 && t % a[2] == 0) {
                tot = max(tot, i + j + t / a[2]);
            }
        }
    }
    cout<<tot<<endl;
    return 0;
}

有一个很巧妙的DP做法。

用一个数组 dp[N] 表示每一个长度能够分成子段的最大数。一开始全部复制为  - INF。dp[0] = 0;

然后每输入一个数a， 更新dp[a, N] ， 状态转移方程为：

dp[j]=max(dp[j-a]+1,dp[j]);

int main () {
    int n, dp[4005], a;
    cin>>n;
    fill(dp + 1, dp + n + 1, -INF);
    for (int i = 1; i <= 3; i++) {
        cin>>a;
        for (int j = a; j <= n; j++) dp[j] = max(dp[j - a] + 1, dp[j]);
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

那么通过这个方法，可以改变一下题目，使得暴力过不了。

比如说给出N的最大值为10^6。 且有10个子段，问这N个数中能够分解的有多少个。 这样的复杂度为10^7。 通过暴力必然过不了。