结构网格自适应（SAMR）——一种高效的多尺度问题解决方案

背景与问题

网格对于数值模拟十分重要。基于网格的离散是数值计算中最主流的空间离散方式，而网格的类型和质量直接影响计算的精度和效率。一般情况下，网格尺寸越小，数值离散引入的截断误差越小。但除此以外，网格的正交性、斜率，甚至与物理场特征的一致性也都或多或少会影响数值计算的误差。另一方面，网格拓扑也决定了数值计算程序底层数据结构，从而很大程度上决定了计算的效率。例如，根据一般经验，结构化网格计算效率约是非结构化网格的3倍。当然，除了以上因素，网格生成的难易程度也是影响实践中网格选择的重要因素。一些常用的网格形式列举如下：

各种网格形式（素材来源于网络）

随着数值模拟精度和效率要求不断提高，对网格生成的效率，以及网格相关计算精度和计算效率方面提出了更多挑战。根据笔者视角来看，最典型问题包括网格生成效率低、多尺度特征捕捉和先进硬件平台适配等问题。

问题一：网格生成效率低

手动生成高质量网格一直是非常费时费力的工作。美国工业软件公司ENVENIO发布了一份针对仿真行业的调查报告《The CFD Survey》，该调查采访了28个国家的116位仿真从业者，涉及不同规模的公司。调查结果中显示（如下图），不论规模大小，所有的公司都认为在网格生成上花费了太长的时间。一方面，随着计算机算力提升，人力成本相对越来越昂贵。另一方面，数值模拟精度要求越来越高，所需网格数量逐渐增长到超过人工可控的规模。因此，网格生成的自动化、大规模化、并行化是网格技术发展的大势所趋。

仿真行业的调查结果[1]

问题二：多尺度特征捕捉

物理问题天然具有多尺度特性，精确捕捉关键跨尺度的特征对于实现高保真模拟至关重要。以流体力学为例，超声速空气流动中的激波、燃烧反应流中的火焰面、多相流中的两相界面以及几何曲率极大的区域等，都是对应场景中的关键跨尺度特征。因此，为了实现高保真模拟，同时保证计算量在可接受范围，对计算域进行精确而有针对性的网格加密是非常重要的。正如，流体力学模拟中经常对边界层和激波区域进行网格加密，结构力学模拟中经常对应力集中区域和断裂破坏点进行加密。不幸的是，在实际问题模拟中，大多数情况下无法预先判断跨尺度特征出现的区域和时机。在此情况下，必然要求网格具有跟随物理场变化而自适应加密的能力，进而引发网格加密规则等功能性问题，以及并行情况下动态负载均衡等性能问题。