本文详细介绍了可持久化数据结构的基础知识，包括可持久化数组、可持久化并查集、可持久化Trie和可持久化线段树等。通过实例展示了这些数据结构在ACM竞赛和算法设计中的应用，如动态维护序列最大异或和、区间第k小问题等。同时，还提供了相关代码实现和参考资料，帮助读者深入理解并掌握可持久化数据结构。
title : 可持久化数据结构基础
date : 2021-10-18
tags : ACM,数据结构
author : Linno
文章目录
可持久化数组
luoguP3919 【模板】可持久化线段树 1（可持久化数组）
对于每一次操作新建一个根节点，然后动态开辟节点。
对于每一次操作1，更改其版本对应位置的值（单点），
对于每一次操作2，将根节点直接赋值过去。
#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define MID int mid=l+r>>1
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=f*-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m,cnt,rt[maxn],a[maxn];
int v,op,loc,val;
struct node{
int l,r,val;
}tr[maxn*32];
int clone(int p){
cnt++;
tr[cnt]=tr[p];
return cnt;
}
int build(int p,int l,int r){
p=++cnt;
if(l==r){
tr[p].val=a[l];
return cnt;
}
MID;
tr[p].l=build(tr[p].l,l,mid);
tr[p].r=build(tr[p].r,mid+1,r);
return p;
}
int update(int p,int l,int r,int pos,int val){
p=clone(p);
if(l==r){
tr[p].val=val;
}else{
MID;
if(pos<=mid) tr[p].l=update(tr[p].l,l,mid,pos,val);
else tr[p].r=update(tr[p].r,mid+1,r,pos,val);
}
return p;
}
int query(int p,int l,int r,int pos){
if(l==r) return tr[p].val;
MID;
if(pos<=mid) return query(tr[p].l,l,mid,pos);
else return query(tr[p].r,mid+1,r,pos);
}
signed main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
}
rt[0]=build(0,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++){
v=read();op=read();loc=read();
if(op==1){
val=read();
rt[i]=update(rt[v],1,n,loc,val);
}else{
cout<<query(rt[v],1,n,loc)<<"\n";
rt[i]=rt[v];
}
}
return 0;
}
可持久化并查集
luoguP3402 可持久化并查集
因为要回退第k个版本（可持久化），开个主席树。叶子节点存储父亲信息和深度。深度用来按秩合并，对同一颗树上的a,b两点合并属于单点修改logn；询问是否在同一集合，只需在当前版本查找。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+7;
const int mod=1e9+7;
int read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=f*-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m,cnt,rt[maxn],op,a,b,u,v,k;
struct node{
int l,r,fa,dep; //定义主席树的左右节点,当前节点所在集合以及深度(只和合并有关)
}tr[maxn*32];
inline void build(int &p,int l,int r){
p=++cnt; //动态开点
if(l==r){
tr[p].fa=l; //只需要初始化父亲
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(tr[p].l,l,mid);
build(tr[p].r,mid+1,r);
}
inline void merge(int x,int &y,int l,int r,int pos,int fa){ //合并两区间
y=++cnt; //动态开点
tr[y].l=tr[x].l;
tr[y].r=tr[x].r;
if(l==r){ //属于单点修改
tr[y].fa=fa;
tr[y].dep=tr[x].dep;
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(pos<=mid) merge(tr[x].l,tr[y].l,l,mid,pos,fa);
else merge(tr[x].r,tr[y].r,mid+1,r,pos,fa);
}
inline void update(int p,int l,int r,int pos){
if(l==r){ //单点修改秩
tr[p].dep++;
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(pos<=mid) update(tr[p].l,l,mid,pos);
else update(tr[p].r,mid+1,r,pos);
}
inline int query(int p,int l,int r,int pos){ //询问pos所在的树上节点
if(l==r) return p;
int mid=l+r>>1;
if(pos<=mid) return query(tr[p].l,l,mid,pos);
else return query(tr[p].r,mid+1,r,pos);
}
inline int find(int p,int pos){
int now=query(p,1,n,pos);
if(tr[now].fa==pos) return now; //向上查找父亲
return find(p,tr[now].fa);
}
signed main(){
n=read();m=read();
build(rt[0],1,n);
for(int i=1;i<=m;i++){
op=read();
if(op==1){
a=read();b=read();
rt[i]=rt[i-1]; //换根
u=find(rt[i],a),v=find(rt[i],b);
if(tr[u].fa!=tr[v].fa){ //按秩合并
if(tr[u].dep>tr[v].dep) swap(u,v);
merge(rt[i-1],rt[i],1,n,tr[u].fa,tr[v].fa);
if(tr[u].dep==tr[v].dep) update(rt[i],1,n,tr[v].fa);
}
}else if(op==2){
k=read();
rt[i]=rt[k];
}else{
a=read();b=read();
rt[i]=rt[i-1];
if(tr[find(rt[i],a)].fa==tr[find(rt[i],b)].fa) puts("1");
else puts("0");
}
}
return 0;
}
可持久化Trie
对于一棵树上的最大异或和，可以用0/1Trie来解决，但是如果每次询问都是给定区间的话，不能对每个区间都建Trie，这时候就可以用到可持久化Trie了。我们很容易知道，异或是满足可见性的，所以可以用主席树的思想来维护前缀和，两棵树做差即可获得区间的最大异或值。
luoguP4735 最大异或和
给定一个非负整数序列 { a } \{a\} {a}，初始长度 n n n。
有 m m m 个操作，有以下两种操作类型：
A x：添加操作，表示在序列末尾添加一个数 x x x，序列的长度 n + 1 n+1 n+1。Q l r x：询问操作，你需要找到一个位置 p p p，满足 l ≤ p ≤ r l \le p \le r l≤p≤r，使得：$ a[p] \oplus a[p+1] \oplus … \oplus a[N] \oplus x$ 最大，输出最大是多少。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=6e5+10,M=(N<<5);
int n,m,s[N];
int tr[M][2],max_id[M]; //max_id表示当前新加的节点在前缀和数组s的位置
int rt[N],idx=0;
inline void insert(int p,int lst,int k){ //Trie插入操作
max_id[p]=k;
for(int i=25;i>=0;--i){
int v=s[k]>>i&1;
if(lst) tr[p][v^1]=tr[lst][v^1];
tr[p][v]=++idx;
max_id[tr[p][v]]=k;
p=tr[p][v];lst=tr[lst][v];
}
}
int query(int l,int r,int C){ //查询[l,r]区间中，与C异或值最大的数
int p=rt[r];
for(int i=25;i>=0;--i){ // C是s[n]^x, 从高位到低位逐位检索二进制每一位上能跟C异或结果最大的数
int v=C>>i&1;
if(max_id[tr[p][v^1]]>=l) p=tr[p][v^1];
else p=tr[p][v];
}
return C^s[max_id[p]];
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m); // 前缀和，初始化第0个版本
s[0]=0;
max_id[0]=-1;
rt[0]=++idx;
insert(rt[0],0,0);//一开始先插入一个0
for(int i=1;i<=n;++i){
int x;
scanf("%d",&x);
s[i]=s[i-1]^x;
rt[i]=++idx;
insert(rt[i],rt[i-1],i);
}
char op[2];
int l,r,x;
for(int i=1;i<=m;++i){
scanf("%s",op);
if(op[0]=='A'){
scanf("%d",&x);
++n;
s[n]=s[n-1]^x;
rt[n]=++idx;
insert(rt[n],rt[n-1],n);
}else{
scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
printf("%d\n", query(l-1,r-1,s[n]^x));
}
}
return 0;
}
可持久化线段树
在每一个位置维护一个线段树，离散化后节点可以表示值的范围。然后利用前缀和的思想去将两个版本的线段树做差即可得到[l,r]序列的权值线段树。
P3834 【模板】可持久化线段树 2
经典的静态区间第k小问题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+7;
const int mod=1e9+7;
int read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=f*-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m,cnt=0,rt[N],a[N]; //a[i]为原始序列,rt[i]为第i版本主席树
struct node{
int l,r,sum; //树的左右端点和元素个数
}tr[N<<5];
vector<int>vt; //辅助容器
int getid(int x){ //返回每个数的rank
return lower_bound(vt.begin(),vt.end(),x)-vt.begin()+1;
}
void update(int &x,int y,int l,int r,int pos){
tr[++cnt]=tr[y];
tr[cnt].sum++; //区域元素+1
x=cnt; //将原来的树地址指向当前树
if(l==r) return; //叶子结点返回
int mid=((l+r)>>1);
if(pos<=mid) update(tr[x].l,tr[y].l,l,mid,pos); //左子树插入
else update(tr[x].r,tr[y].r,mid+1,r,pos); //右子树插入
}
int query(int x,int y,int l,int r,int k){ //查询[l,r]区间第k大
if(l==r) return l;
int mid=((l+r)>>1);
int sum=tr[tr[y].l].sum-tr[tr[x].l].sum; //左子树相减，其差值为两版本左边相差多少个数
if(k<=sum) return query(tr[x].l,tr[y].l,l,mid,k); //结果大于等于k，询问左子树
else return query(tr[x].r,tr[y].r,mid+1,r,k-sum); //否则找右子树第k-sum小的数
}
signed main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
vt.push_back(a[i]); //辅助容器用于离散化
}
sort(vt.begin(),vt.end()); //排序
vt.erase(unique(vt.begin(),vt.end()),vt.end()); //去重
for(int i=1;i<=n;i++){ //每次插入都从根节点开始建一棵新树
update(rt[i],rt[i-1],1,n,getid(a[i]));
}
for(int i=1,x,y,k;i<=m;i++){ //第y和x-1棵树做差，就能查出[x,y]区间第k小
x=read();y=read();k=read();
printf("%d\n",vt[query(rt[x-1],rt[y],1,n,k)-1]);
}
return 0;
}
可持久化平衡树
平衡树的可持久化一般可以用FHQ Treap实现。
无旋Treap可通过Merge和Split操作复制路径上的结点（一般在Split操作中复制，确保不会影响以前的版本）就可以完成可持久化。
旋转Treap在复制路径上经过的结点同时，还需复制受选择影响的结点（每次旋转只影响两个结点），不过不会影响时间复杂度。
这种方法称之为path coping。
P5055 【模板】可持久化文艺平衡树
题目大意：支持①单点插入；②单点删除；③翻转区间；④区间求和操作并且强制在线
#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+3;
const int mod=1e9+7;
int read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=f*-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
struct FHQ{
int ls,rs,sz,pri;
ll val,sum; //左儿子，右儿子，树大小，权值、区间和
bool lzy; //两个标记，翻转区间和区间赋值
}T[(N<<7)];
int idx,rt[N];
inline int new_node(ll v=0){ //新建结点
static int tot(0);
//T[++tot].ls=T[tot].rs=T[tot].lzy=0;
T[++tot].sz=1;T[tot].pri=rand();
T[tot].val=T[tot].sum=v;
return tot; //返回节点编号
}
inline int copy_node(int p){
int res=new_node();
T[res]=T[p];
return res;
}
inline void pushup(int p){ //结点更新信息
T[p].sz=T[T[p].ls].sz+T[T[p].rs].sz+1; //子树大小
T[p].sum=T[T[p].ls].sum+T[T[p].rs].sum+T[p].val; //区间和
}
inline void pushdown(int p){ //下传标记
if(!T[p].lzy) return;
if(T[p].ls) T[p].ls=copy_node(T[p].ls);
if(T[p].rs) T[p].rs=copy_node(T[p].rs);
swap(T[p].ls,T[p].rs);
if(T[p].ls) T[T[p].ls].lzy^=1;
if(T[p].rs) T[T[p].rs].lzy^=1;
T[p].lzy=0;
}
inline void split(int p,int k,int &x,int &y){ //分离操作
if(!p){x=y=0;return;}
pushdown(p);
if(T[T[p].ls].sz+1<=k){
x=copy_node(p);
split(T[x].rs,k-T[T[p].ls].sz-1,T[x].rs,y);
pushup(x);
}else{
y=copy_node(p);
split(T[y].ls,k,x,T[y].ls);
pushup(y);
}
}
inline int merge(int x,int y){ //合并操作
if(!x||!y) return x|y;
pushdown(x),pushdown(y);
if(T[x].pri<T[y].pri){
T[x].rs=merge(T[x].rs,y);pushup(x);return x;
}else{
T[y].ls=merge(x,T[y].ls);pushup(y);return y;
}
}
signed main(){
srand(time(0));
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
int cnt=0;
int m,v,op,pos,a,b,x,y,z;
ll lastans=0,val;
cin>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>v>>op;
if(op==1){ //区间插入操作
cin>>a>>b;
a^=lastans,b^=lastans;
split(rt[v],a,x,y); //以pos位置拆开再进行三棵树的合并
rt[++cnt]=merge(merge(x,new_node(b)),y);
}else if(op==2){ //删除操作
cin>>a;
a^=lastans;
split(rt[v],a,x,z); //以pos-1位置拆开
split(x,a-1,x,y);
rt[++cnt]=merge(x,z); //进行合并
}else if(op==3){ //翻转区间
cin>>a>>b;
a^=lastans,b^=lastans;
split(rt[v],b,x,z);
split(x,a-1,x,y);
T[y].lzy^=1;
rt[++cnt]=merge(merge(x,y),z);
}else if(op==4){ //区间求和
cin>>a>>b;
a^=lastans,b^=lastans;
split(rt[v],b,x,z);
split(x,a-1,x,y);
printf("%lld\n",lastans=T[y].sum);
rt[++cnt]=merge(merge(x,y),z);
}
}
return 0;
}
参考资料
OI-Wiki
https://blog.youkuaiyun.com/qq_52678569/article/details/124210596
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