佩尔方程

最新推荐文章于 2022-08-07 20:59:42 发布

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本文介绍了佩尔方程的基本概念及其解法。佩尔方程是一种特殊的二元二次不定方程，当n不是完全平方数时，方程存在非平凡解。文章详细探讨了佩尔方程的解的性质，并提供了求解佩尔方程的方法。

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什么是佩尔方程

　　　　定义：若一个不定方程具有这样的形式： $http://upload.wikimedia.org/math/3/6/9/369132e4b800099cf4c2a41e4a954c55.png$ 则称此二元二次不定方程为佩尔方程

　　　　若n是完全平方数，则这个方程式只有平凡解 $(\pm 1, 0)$ 。

佩尔方程的解

设为 $http://upload.wikimedia.org/math/3/6/9/369132e4b800099cf4c2a41e4a954c55.png$ 的两个解，则有

两式相乘得化简整理得，式子中加一个减一个

可得

所以有

写成矩阵形式，可得

因此只要知道最小的一个特解，就可以算出其他的解

佩尔方程的特解

暴力求解法 令,求出，然后检查通过这个,是否使得佩尔方程成立

void serach(ll n,ll &x,ll &y)
{
    y=1;
    while(1)
    {
        x=(1ll)*sqrt(n*y*y+1);
        if(x*x-n*y*y==1) break;
        y++;
    }
}

连分式法（占楼）

佩尔型方程

形如

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