CF - 314C - Sereja and Subsequences(树状数组+dp)

本文介绍了一个解决特定序列子序列问题的算法,通过引入以数结尾的子序列计数方法,实现复杂度优化。详细解释了状态转移方程的推导,并通过实例演示算法应用过程。

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题意:一个由n个数a1, a2, ..., an组成的序列,对于这个序列的任何一个不同的不减子序列,x1, x2, ..., xr,存在y = {y1, y2, ..., yr},使得y1 <= x1, y2 <= x2, ..., yr <= xr,求y的总个数(1 <= n <= 10^5, 1 <= ai <= 10^6)。

题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/314/C

——>>设d[a]表示以数a结尾的子序列的y的个数,则

状态转移方程为:d[a] = sum(a) * a + a。

样例:1 2 2

对于1,d[1] = 1,

对于第1个2,d[2] = 4,

对于第2个2,(暂不赋值d[2]) temp = (d[1] + d[2]) * 2 + 2 = 12,这时,数状数组里的C[2]应加上的是temp - d[2](d[2]指上一个d[2] == 4),因为以2为结尾的y已有4个,所以temp中的12个中有4个是重复的,再更新d[2] = 12。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int mod = 1000000000 + 7;
const int maxn = 1000000 + 10;
const int N = 1000000 + 1;
int n, d[maxn], C[maxn];

int lowerbit(int x){
    return x & (-x);
}

void add(int x, int v){
    v = (v % mod + mod) % mod;
    while(x <= N){
        C[x] = (C[x] + v) % mod;
        x += lowerbit(x);
    }
}

int sum(int x){
    int ret = 0;
    while(x){
        ret = (ret + C[x]) % mod;
        x -= lowerbit(x);
    }
    return ret;
}

void init(){
    memset(d, 0, sizeof(d));
    memset(C, 0, sizeof(C));
}

void solve(){
    int a, i;
    for(i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &a);
        int temp = ((long long)sum(a) * a + a) % mod;
        add(a, temp - d[a]);
        d[a] = temp;
    }
    printf("%d\n", sum(N));
}

int main()
{
    while(scanf("%d", &n) == 1){
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}


### 关于回文子序列的算法及其示例 #### 定义与概念 回文是指正读和反读都相同的字符序列。对于给定字符串中的任意字符组合形成的子序列,如果该子序列满足上述条件,则称为回文子序列。 #### 动态规划求解最长回文子序列 为了找到一个字符串中最长的回文子序列,可以采用动态规划的方法来解决这个问题。设 `dp[i][j]` 表示从第 i 到 j 的子串内的最长回文子序列长度: - 当 s[i]==s[j] 时, dp[i][j]=dp[i+1][j−1]+2; - 否则, dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j−1]). 最终的结果保存在 `dp[0][len(s)-1]` 中[^3]. ```python def longest_palindromic_subseq(s: str) -> int: n = len(s) # 创建二维数组用于存储中间结果 dp = [[0]*n for _ in range(n)] # 初始化单个字符的情况 for i in range(n): dp[i][i] = 1 # 填充表格 for length in range(2, n + 1): for start in range(n - length + 1): end = start + length - 1 if s[start] == s[end]: dp[start][end] = dp[start+1][end-1] + 2 else: dp[start][end] = max(dp[start+1][end], dp[start][end-1]) return dp[0][-1] ``` 此方法的时间复杂度为 O(),空间复杂度同样为 O(). #### 枚举所有可能的回文子序列 除了寻找最长的回文子序列外,还可以通过枚举的方式找出所有的不同回文子序列。这种方法适用于较短的输入字符串,并且可以通过位掩码技术实现高效的遍历。 ```python from collections import defaultdict def count_distinct_palindrome_subsequences(text: str) -> list[str]: results = set() memo = {} def backtrack(start=0, path=""): nonlocal text, results, memo key = (start, path) if key not in memo: temp_set = {path} if path == path[::-1] else {} for index in range(start, len(text)): new_path = path + text[index] if new_path == new_path[::-1]: temp_set.add(new_path) temp_set |= backtrack(index + 1, new_path) memo[key] = temp_set results.update(memo[(start, path)]) return memo[(start, path)] backtrack() return sorted(list(results)) ``` 这段代码会返回按字典序排列的不同回文子序列列表.
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