用matlab的bvpc求解器解决最优控制问题（即两点边值问题）

今天看matlab数学文档的时候，发现可以使用bvp4c和bvp5c这两个求解器解决两点边值问题（Boundary Value Problem, BVP），上网搜了一下，发现优快云上有人用bvp4c解决了一个最优控制问题，下面是对他的博客的个人理解。

【理论】

bvp4c函数用于数值求解两点边值问题，作为Matlab中对ode系列函数的补充。ode系列函数只能数值求解具有初值的常微分方程。

调用格式为

sol = bvp4c(@odefun, @bcfun, solinit, options, p1, p2, ...)

（1）odefun 为微分方程的函数句柄，调用格式为

function dydx = odefun(x, y, p1, p2, ...)

其中，x 为标量，y 是列向量，p1 和 p2 以及剩下的参数是在主函数中和 x 、y 有关的系数。odefun(x, y)必须返回列向量 dydx ，表示 $f(x,y)$。

（2）bcfun 为微分方程的边界条件句柄，调用格式为

function res = bcfun(ya, yb, p1, p2, ...)

其中，ya 为初值，yb 是终值，均为列向量，p1 和 p2 以及剩下的参数是在主函数中和 x 、y 有关的系数，res 为输出，是列向量。需要注意的是，若在实际问题中，$ya(t_0)$的值为$a$，即$ya(t_0)=a$，则在函数中应写成ya - a，yb也是一样。

（3）solinit 为初始估计解的结构体。使用bvpinit函数创建，调用格式为

solinit = bvpinit(x, y)

其中，x 向量为初始网格的排序节点，应满足边界条件a=solinit.x(1)和b=solinit.x(end)。y 是为初始估计解，使得solinit.y(:,i)为在solinit.x(i)节点处的初始估计解。以常值作为初始猜测值，此处初值可以任意设置，若任意设置的初值无法解算出合理结果，则可考虑使用continuation方法设置初值，可参考这篇文章。

（4）options 为可选积分参数。使用bvpset函数创建，调用格式为

options = bvpset('name1','para1','name2','para2',...)

一般情况可用[]代替。

（5）输出sol为结构体，为特定数量点对应的解，其所包含的字段如下表所示。为使曲线变得更光滑，需要在中间插入一些点，使用deval函数，sxint=deval(sol,xint), 其中，xint为点向量，函数deval根据这些点向量求解。sol为函数bvp4c的输出。

参数	功能
sol.x	Bvp4c 选择的网格
sol.y	sol.x 网格点处y(x)的近似值
sol.yp	sol.x 网格点处y’(x)的近似值
sol.parameters	bvp4c 针对未知参数返回的值(如果有)
sol.solver	‘bvp4c’
sol.stats	计算成本统计信息(当设置stats选项和bvpset时，会显示此信息)

【例题】求解最优控制问题-有约束的停车能耗最优控制

初始时刻车辆位置为$x_1(0)=-2$，速度为$x_2(0)=$