双方叫价拍卖：一种贝叶斯博弈均衡的解法

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title: “双方叫价拍卖：一种贝叶斯博弈均衡的解法”
author: “Lei Lie”
categories: Essay
tag: notdouban

一、数学模型：双方叫价拍卖模型

考虑一类双方叫价拍卖（double auction），潜在的卖方和买方同时开价，卖方提出要价（asking price），买方提出出价（bidding price），拍卖商选择成交价格$p$清算市场。交易规则为

1. 所有要价低于$p$的卖方卖出，所有出价高于$p$的买方买入；
2. 在价格$p$下的总供给等于总需求。

查特金和萨缪尔逊（Chatterjee and Samuelson,1983）建立了一个简单双方叫价拍卖模型。

该模型中，有一个卖方和一个买方。卖方提供该商品的成本为$c$，或者说，该商品对卖方的价值为$c$；该商品对买方的价值为$v$。

注：$c\in [0,1]$，$v\in [0,1]$。

该模型的具体流程为

1. 同时地，卖方提出要价$p_s\in [0,1]$，买方提出出价$p_b\in [0,1]$；

2. 若$p_b\ge p_s$，双方在$p=(p_s+p_b)/2$上成交；卖方的博弈收益为$u_s=(p_s+p_b)/2-c$，买方的博弈收益为$u_b=v-(p_b+p_s)$；

3. 若$p_b<p_s$，没有交易发生；卖方和买方的效用均为$0$。

二、问题描述：贝叶斯博弈模型

现在考虑不完全信息的情况，即

1. 只有卖方知道$c$（卖方提供该商品的成本）；
2. 只有买方知道$v$（该商品对买方的价值）；
3. $c$和$v$在$[0,1]$均匀分布，概率分布函数$f(x)=1/(b-a)x\in [a,b]$为公共知识。

在该贝叶斯博弈中，卖方的策略（即要价）$p_s$是$c$的函数，为$p_s(c)$；买方的策略（即出价）$p_b$是$v$的函数，为$p_b(v)$。策略组合$(p_s^{\ast }(c),p_b^{\ast }(v))$是一个贝叶斯均衡（Bayesian Nash Equilibrium，BNE），假定下列两个条件成立：

1. 卖方最优：对于所有的$c\in [0,1]$，$p_s^{\ast }(c)$是下列最优化问题的解，为
   max ⁡ p s u s = max ⁡ p s [ 1 2 ( p s + E [ p b ( v ) ∣ p b ( v ) ≥ p s ] ) − c ] ⋅ Prob { p b ( v ) ≥ p s } \max_{p_s} u_s = \max_{p_s}\left [ \frac{1}{2}(p_s + \text{E}[p_b(v)|p_b(v) \ge p_s]) - c \right ]\cdot \text{Prob}\{ p_b(v) \ge p_s \} ps​max​us​=ps​max​[21​(ps​+E[pb​(v)∣pb​(v)≥ps​])−c]⋅Prob{ pb​(v)≥ps​}

   式中，$\text{E}[p_b(v)|p_b(v)\ge p_s]$为给定买方的出价高于卖方的要价的条件下，卖方预期买方的出价。

2. 买方最优：对于所有的$v\in [0,1]$，$p_b^{\ast }(c)$是下列最优化问题的解，为

   max ⁡ p b u b = max ⁡ p b [ v − 1 2 ( p b + E [ p s ( c ) ∣ p b ≥ p s ( c ) ] ) ] ⋅ Prob { p b ≥ p s ( c ) } \max_{p_b} u_b = \max_{p_b}\left [v- \frac{1}{2}(p_b + \text{E}[p_s(c)|p_b \ge p_s(c)])\right ]\cdot \text{Prob}\{ p_b \ge p_s(c) \} pb​max​ub​=pb​max​[v−21​(pb​+E[ps​(c)∣pb​≥ps​(c)])]⋅Prob{ pb​≥ps​(c)}

   式中，$\text{E}[p_s(c)|p_b\ge p_s(c)])$为给定买方的出价高于卖方的要价的条件下，买方预期卖方的要价。

问题1：为什么会有上述两个目标函数的形式？

回答：见前文提到的模型流程，在$p_b\ge p_s$的条件下，双方在$p=(p_s+p_b)/2$上成交。卖方的博弈收益为$u_s=(p_s+p_b)/2-c$，$p_s$是卖方可以确定的变量，那么$p_b$要满足$p_b\ge p_s$的条件，所以要计算$p_b$在$p_b\ge p_s$内的期望博弈收益，写为$\text{E}[p_b(v)|p_b(v)\ge p_s])$。

买方的博弈收益为$u_b=v-(p_b+p_s)$，$p_b$是买方可以确定的变量，那么$p_s$要满足$p_b\ge p_s$的条件所以要计算$p_s$在$p_b\ge p_s$内的期望博弈收益，写为$\text{E}[p_s(c)|p_b\ge p_s(c)]$。

三、理论方法：贝叶斯均衡的解法

该贝叶斯博弈有多种BNE，首先考虑一类线性策略均衡，表达式为

$$\{\begin{array}{rl}& p_s(c)={\alpha }_s+{\beta }_{s}c,\\ & p_b(v)={\alpha }_b+{\beta }_{b}c.\end{array}$$

3.1 求解卖方的目标函数

先求解卖方的目标函数，为此，要先求解下面两个式子，分别是

Prob { p b ( v ) ≥ p s } \text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s \} Prob{ pb​(v)≥ps​}

和

$$\text{E}[p_b(v)|p_b(v)\ge p_s]$$

3.1.1 求解 Prob { p b ( v ) ≥ p s } \text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s \} Prob{ pb​(v)≥ps​}

可以将买方出价$p_b(v)$大于等于卖方要价$p_s$的概率表示为

Prob { p b ( v ) ≥ p s } = Prob { α b + β b v ≥ p s } . \text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s\} = \text{Prob}\{\alpha_b + \beta_b v \ge p_s\}. Prob{ pb​(v)≥ps​}=Prob{ αb​+βb​v≥ps​}.

随后，解不等式${\alpha }_b+{\beta }_{b}v\ge p_s$，为

$$v\ge \frac{p_s-{\alpha }_b}{{\beta }_b}.$$

由于$v$在$[0,1]$上均匀分布，因此$v$大于等于$\frac{p_s-{\alpha }_b}{{\beta }_b}$的概率为

$$\text{Prob}\left\{v\ge \frac{p_s-{\alpha }_b}{{\beta }_b}\right\}=1-\frac{p_s-{\alpha }_b}{{\beta }_b},$$

化简得到下式，为

Prob { p b ( v ) ≥ p s } = ( α b + β b − p s ) / β b . \text{Prob}\{p_b(v) \ge p_s\} = (\alpha_b + \beta_b - p_s) / \beta_b. Prob{ pb​(v)≥ps​}=(αb​+βb​−ps​)/βb​.

3.1.2 求解$\text{E}[p_b(v)|p_b(v)\ge p_s]$

根据条件期望¹的定义，而且根据条件概率$p_b(v)\ge p_s$，得到积分上限为${\alpha }_b+$