[bzoj4735][数论]你的生命已如风中残烛

最新推荐文章于 2019-07-26 08:30:55 发布

Rose_max

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分类专栏： bzoj 数论

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本文介绍了一个关于六花和勇太玩牌的游戏问题，玩家需要计算六花在不同牌序下获胜的可能性。游戏规则涉及概率计算及组合数学，具体包括如何通过特定的牌序安排使六花能够获胜。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

众所周知，萌萌哒六花不擅长数学，所以勇太给了她一些数学问题做练习。但是今天六花酱不想做数学题，于是他
们开始打牌。现在他们手上有m张不同的牌，牌有两种：普通牌和功能牌。功能牌一共有n张，每张功能牌都有一个
属性值wi，保证Sigma(wi)=m,1<=i<=N现在勇太将这m张牌随机打乱（一共有m!种不同的顺序）。一开始，六花先从
牌堆顶端取一张牌。接着每回合六花可以选择手中的一张牌打出，如果这张牌是普通牌，那么什么都不会发生；如
果这种牌是功能牌，那么六花需要从牌堆顶端再取wi张牌。重复这个过程直到六花手中没有手牌或六花要摸牌的时
候牌堆已经空了，如果是前者，则勇太胜利，否则六花胜利。举例来说，如果牌堆是{3，0，2，0，0）（用0表示
普通牌，其他数字表示wi），那么六花打牌的过程可以为： 1)取一张牌，手中的牌为{3}。
2)打出{3}，再取三张牌，手中的牌为{0，2，0}。 3)打出这三张牌，还需要再取两张，取到第二张的时候牌堆中已没有牌，六花胜利。
而如果牌堆是{2，0，0，3,0}，不难发现是勇太大胜利。现在，六花想要知道，这M!种顺序中，有多少种是能让自
己取得胜利的呢。当然这个问题对萌萌哒六花来说实在是太雉了，所以她来向你寻求帮助，你能帮帮她吗。

Input

第一行一个整数n。第二行他个空格隔开的正整数wi。通过输入你可以自己算出来m=Sigma(Wi),1<=i<=N
n≤40，1<wi≤10^5

Output

输出一个整数表示答案，答案可能很大，你只需要输出对998244353取模后的结果。

Sample Input

1

3

Sample Output

2

HINT

样例解释一

m!种牌堆中，{3，0，0），{0，3，0）{0，0，3）各有两个，其中只有第一种满足条件。

题解

~~貌似网上没找到什么证明？？我来瞎写一个qwq~~
首先可以把所有数都 $- 1$ ，那么得到一个和为 $0$ 的数列，要求任意前缀和 $> = 0$
然后开始神奇操作…
在最后加一个数 $- 1$ ，那么得到一个和为 $- 1$ 的数列，要求在 $[1, m]$ 的任意前缀和 $> = 0$
把这 $m + 1$ 个数看成圆排列，那么共有 $m!$ 种方案
考虑证明每个圆排列唯一对应了一种方案
显然对于一个圆排列，我们能找到一个连续的一段满足其和最小，不妨设开头结尾为 $u, v$ ，并且满足 $u < v$ ，其他情况类推
那么以 $u - 1$ 为结尾的任意不超过 $v$ 后缀都会满足和 $> = 0$ ，以 $v + 1$ 为开头的任意不超过 $u$ 前缀都会满足和 $> = 0$
如果一刀切在了非 $v$ 与 $v + 1$ 之间，假设在 $[v + 1, u - 1]$ 中，某个数 $x$ 的前面，显然 $[v + 1, x]$ 这一段前缀不小于 $0$ ，又因为和为 $- 1$ ，那么一定有一个不合法的位置在 $v$
在 $[u, v]$ 中切是同理的
故一个圆排列唯一对应一种方案
我们考虑怎么去除最后一个是我们加入的 $- 1$ 的方案
加入这个 $- 1$ 后共有 $m - n + 1$ 个 $- 1$ ，显然我们所有合法方案结尾均为 $- 1$ ，那么真正结尾为加入的 $- 1$ 的方案被计数了 $m - n + 1$ 次
所以答案即为
$m!m−n+1\frac{m!}{m-n+1}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<map>
#include<bitset>
#include<set>
#define LL long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define pll pair<long long,long long>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int stack[20];
inline void write(int x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(!x){putchar('0');return;}
    int top=0;
    while(x)stack[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)putchar(stack[top--]+'0');
}
inline void pr1(int x){write(x);putchar(' ');}
inline void pr2(int x){write(x);putchar('\n');}
const int mod=998244353;
int pow_mod(int a,int b)
{
	int ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ret=1LL*ret*a%mod;
		a=1LL*a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ret;
}
int getans(int n,int m)
{
	int ret=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)ret=1LL*ret*i%mod;
	return 1LL*ret*pow_mod(m-n+1,mod-2)%mod;
}
int main()
{
	int n=read(),m=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)m+=read();
	pr2(getans(n,m));
	return 0;
}