[bzoj4804][莫比乌斯反演][欧拉函数]欧拉心算

最新推荐文章于 2020-12-11 21:13:05 发布

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莫比乌斯反演

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本文介绍了一道使用莫比乌斯反演求解的数学问题，通过将三重循环转化为更简洁的形式来提高计算效率。文章给出了具体的实现代码，并采用分块技术将复杂度降低到O(n*T(sqrt(n)))。

Description

给出一个数字N

Input

第一行为一个正整数T，表示数据组数。接下来T行为询问，每行包含一个正整数N。 T<=5000,N<=10^7

Output

按读入顺序输出答案。

Sample Input

1

10

Sample Output

136

题解

先上一手莫反

$\sum i = 1 n \sum j = 1 n \sum d = 1 n [g c d (i, j) = d] p h i [d]$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^n[gcd(i,j)=d]phi[d]$
$= \sum d = 1 n p h i [d] * 2 \sum i = 1 n / d \sum j = 1 n / d (p h i [i] - 1)$ $=\sum_{d=1}^nphi[d]*2\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}(phi[i]-1)$
因为gcd(i,j)=1实际上就是互质，也就是欧拉函数嘛
于是我们可以把phi前缀和一下
然后分块加速
复杂度 $O(n*T(sqrt(n)))$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL sum[11000000];
int phi[11000000],pri[11100000],pr;
bool v[11000000];
void getphi(int MAXN)
{
    phi[1]=1;memset(v,true,sizeof(v));
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(v[i])
        {
            pri[++pr]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=pr && i*pri[j]<=MAXN;j++)
        {
            v[i*pri[j]]=false;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}
int n;
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);getphi(10000000);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        LL ans=0;int next;
        for(register int d=1;d<=n;d=next+1)
        {
            next=n/(n/d);
            ans+=(LL)(sum[next]-sum[d-1])*sum[n/d];
        }
        printf("%lld\n",2LL*ans-sum[n]);
    }
    return 0;
}