[hdu6428]Calculate(数论欧拉函数莫比乌斯反演)-优快云博客

本文探讨了一个复杂的数学问题，即求解三重求和公式。通过将Euler totient函数和最大公约数概念分离，引入了辅助函数f(d)和g(d)，并利用积性函数的性质和狄利克雷卷积进行优化。文章详细解释了如何使用线性筛算法高效计算这些函数，并附上了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

$A,B,C\leq1e7$

\sum i = 1 A \sum j = 1 B \sum k = 1 C ϕ (g c d (i, j 2, k 3))

$\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C \phi(gcd(i, j^2, k^3))$

题解

很难受写这题的时候真是又困又难受，冷静下来细想并没有那么难qwq
学计算机果然要身体好才行呀

对于这个东西，我们先想到把 $phi$ 和 $gcd$ 拆开。
设 $f(d)$ 表示存在多少个 $i,j,k$ 使得 $d|gcd(i,j^2,k^3)$
设 $g(d)$ 表示存在多少个 $i,j,k$ 使得 $d==gcd(i,j^2,k^3)$
我们先不考虑怎么求 $f,g$

那么 $ans=\sum g(d)*\phi(d)$

容易发现

f (d) = \sum d | k g (k)

$f(d)=\sum_{d|k}g(k)$
然后我们莫比乌斯一下

g (d) = \sum d | k μ (k / d) * f (k)

$g(d)=\sum_{d|k}\mu(k/d)*f(k)$

再把这个带入 $ans$

a n s = \sum ϕ (d) * \sum d | k f (k) * μ (k / d)

$ans = \sum\phi(d)*\sum_{d|k}f(k)*\mu(k/d)$

= \sum k f (k) \sum d | k ϕ (d) * μ (k / d)

$= \sum_kf(k)\sum_{d|k}\phi(d)*\mu(k/d)$
两个积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数，后面这部分可以搞一搞线筛出来。
前面这一部分也好算

f(k)=Ak∗Bb[k]∗Cc[k]f(k)=Ak∗Bb[k]∗Cc[k] $f(k)=\frac{A}{k}*\frac{B}{b[k]}*\frac{C}{c[k]}$
b[k]为最小的x使得

x∗x%k==0x∗x%k==0 $x*x\%k==0$
c[k]同理
然后b[k],c[k]也是积性函数，线筛搞搞就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
const int maxn = 1e7 + 10;
const int mod = 1<<30;
int prm[maxn], phi[maxn], tot; 
bool ok[maxn];

ui bb[maxn], cc[maxn], sx[maxn], fck[maxn];
void get_prime(int n){ 
tot = 0;
    memset(ok, 0, sizeof(ok)); phi[1] = 1;
    cc[1] = bb[1] = 1;
    sx[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++){
        if (!ok[i]){
            prm[++ tot] = i;
            phi[i] = i - 1;
            cc[i] = bb[i] = i;
            sx[i] = i - 2;
            fck[i] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= tot; j ++){
            if (1LL * i * prm[j] > n) break;
            if (1LL * bb[i] * bb[i] % (i * prm[j]) == 0)
                bb[i * prm[j]] = bb[i];
            else bb[i * prm[j]] = bb[i] * prm[j];

            if (1LL * cc[i] * cc[i] % (i * prm[j]) * cc[i] % (i * prm[j]) == 0)
                cc[i * prm[j]] = cc[i];
            else cc[i * prm[j]] = cc[i] * prm[j];

            ok[i * prm[j]] = true;
            if (i % prm[j]){
                phi[i * prm[j]] = phi[i] * phi[prm[j]];
                sx[i * prm[j]] = sx[i] * sx[prm[j]];
                fck[i * prm[j]] = prm[j];
            }
            else{
                phi[i * prm[j]] = phi[i] * prm[j];
                sx[i * prm[j]] = sx[i / fck[i]] * (phi[fck[i] * prm[j]] - phi[fck[i]]);
                fck[i * prm[j]] = fck[i] * prm[j];          
                break;
            }
        }
    }
}

bool nsp[maxn];
void prepare(){
    get_prime(maxn - 1);
}
void work(){
    ui A,B,C;
    scanf("%u%u%u", &A, &B, &C);

    ui qwq = 0;
    for (int i = A; i; i --){
        qwq = qwq + 1LL * (A / i) * (B / bb[i]) * (C / cc[i]) * sx[i];
    }

    printf("%u\n", qwq % mod);
}
int main(){
    prepare();
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T --)
        work();
    return 0;
}