hdu 6390 (欧拉函数+莫比乌斯反演)

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原创最新推荐文章于 2026-05-31 16:18:47 发布 1.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

我用 AI Agent 全自动跑 COMSOL 仿真：从建模到后处理，踩了 10+ 个深坑本文探讨了利用AI通过COMSOL Java API实现AI芯片液冷冷板全流程自动化仿真的实践。针对700W高功耗AI芯片的散热需求，构建了包含4颗Chiplet和微通道冷板的三维液冷模型。通过严格设计的Prompt工程，AI Agent成功完成了从几何建模到结果验证的全过程，最终实现了芯片最高温度54°C的良好散热效果。文章重点分享了10个关键问题的解决经验，包括流体连通性验证、网格顺序控制、离散阶数选择、收敛判据优化等，并建立了包含流场/热场/网格独立性的三重验证体系。实践表明，AI可高效处理重复性工作阅读详情

给出一个表达式

$Gu(a,b) =$ $\frac{\phi(ab) }{\phi (a)*\phi(b)}$

求解 $(\sum_{a=1}^{m}\sum_{b=1}^{n}Gu(a,b)) (mod(p))$

首先，设p为a，b共同的质因数

phi(n) = p^α = (p-1)*p^(α-1)

phi(ab) = (p-1)*p^(α1+α2-1)

phi(a) = (p-1)*p^(α1-1)

phi(b) = (p-1)*p^(α2-1)

phi(ab)/(phi(a)*phi(b)) = p-1/p;

这样原式子就能转化为 $\frac{gcd(a,b))}{\phi (gcd(a,b))}$

若p只为a或b的质因子，可以发现约分之后都为1

所以上式成立。

所以问题就转化为 $\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{m}\frac{gcd(a,b)}{\phi (gcd(a,b))}$

进一步转化为 $\sum_{k=1}^{min(n,m)}[gcd(a,b)==k] \frac{k}{\phi (k)}$

可以通过莫比乌斯反演来求解gcd(a,b)=k的个数，最后乘上逆元即为答案

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
bool check[maxn];
int prime[maxn];
int mu[maxn];
int phi[maxn];
ll inv[maxn];
int p;


void init()
{
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
        phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(int j = i; j < maxn; j+=i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

void Moblus()
{
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j++)
        {
            if(i*prime[j]>maxn)
                break;
            check[i*prime[j]] = true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

ll cal(int b,int d,int k)
{
    ll ans1 = 0;
    b = b/k;
    d = d/k;
    if(b>d)
        swap(b,d);
    for(int i = 1; i <= b; i++)
    {
        ans1 += (ll)mu[i]*(b/i)*(d/i);
    }

    return ans1;
}

void init2()
{
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        inv[i] = inv[p%i]*(ll)(p-p/i)%p;
    }
}

int main()
{
    init();
    Moblus();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        ll ans = 0;
        init2();
        for(int k = 1; k <= min(n,m); k++)
        {
            ll temp = cal(n,m,k)%p;
            temp = temp*k%p*inv[phi[k]];
            ans = (ans+temp)%p;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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