[bzoj3170][切比雪夫距离]松鼠聚会

最新推荐文章于 2023-01-21 16:49:16 发布

原创最新推荐文章于 2023-01-21 16:49:16 发布 · 346 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

bzoj 同时被 3 个专栏收录

482 篇文章

订阅专栏

数论

63 篇文章

订阅专栏

切比雪夫距离

2 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种利用切比雪夫距离和曼哈顿距离解决特定路径寻找问题的方法。通过数学变换将二维空间中的问题转化为一维，并使用前缀和技巧来求解最小总距离。

Description

有N个小松鼠，它们的家用一个点x,y表示，两个点的距离定义为：点(x,y)和它周围的8个点即上下左右四个点和对角的四个点，距离为1。现在N个松鼠要走到一个松鼠家去，求走过的最短距离。

Input

第一行给出数字N，表示有多少只小松鼠。0<=N<=10^5 下面N行，每行给出x,y表示其家的坐标。
-10^9<=x,y<=109

Output

表示为了聚会走的路程和最小为多少。

Sample Input

6

-4 -1

-1 -2

2 -4

0 2

0 3

5 -2

Sample Output

20

题解

题目要求切比雪夫距离
我们可以推一推

$m a x (∣ x 1 - x 2 ∣, ∣ y 1 - y 2 ∣)$
$∣ x 1 - x 2 ∣ + ∣ y 1 - y 2 ∣ = m a x (x 1 - x 2 + y 1 - y 2, x 2 - x 1 + y 1 - y 2, x 1 - x 2 + y 2 - y 1, x 2 - x 1 + y 2 - y 1)$
上面分别是切比雪夫距离和曼哈顿距离
我们设
$X 1 = x 1 + y 1$
$X 2 = x 2 + y 2$
$Y 1 = x 1 - y 1$
$Y 2 = x 2 - y 2$
那么可以化成
$= m a x (X 1 - X 2, Y 2 - Y 1, Y 1 - Y 2, X 2 - X 1) = m a x (∣ X 1 - X 2 ∣, ∣ Y 1 - Y 2 ∣)$
于是(x1,y1)，(x2,y2)的曼哈顿距离可以化成
(x1+y1,x1-y1)，(x2+y2,x2-y2)的切比雪夫距离
反过来推的话，那么
x1+y1=X1,x1-y1=Y1
发现(x1,y1)=((X1+Y1)/2,(X1-Y1)/2)
那么(x1,y1)，(x2,y2)的切比雪夫距离即为((x1+y1)/2,(x1-y1)/2)到((x2+y2)/2,(x2-y2)/2)的曼哈顿距离
同时乘2后答案扩大两倍，可以简化
问题转化为求一个点，使得其他点到他的曼哈顿距离最小
前缀和即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
struct node{LL x,y;int op;}w[110000];
bool cmpx(node n1,node n2){return n1.x<n2.x;}
bool cmpy(node n1,node n2){return n1.y<n2.y;}
LL s[110000],g[110000],ans[110000];
int n;
/*
max(|x1-x2|,|y1-y2|)
|x1-x2|+|y1-y2|=max(x1-x2+y1-y2,x2-x1+y1-y2,x1-x2+y2-y1,x2-x1+y2-y1)
X1=x1+y1
X2=x2+y2
Y1=x1-y1
Y2=x2-y2
=max(X1-X2,Y2-Y1,Y1-Y2,X2-X1)
=max(|X1-X2|,|Y1-Y2|)
*/
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		LL x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);
		w[i].x=(x+y);w[i].y=(x-y);w[i].op=i;
	}
	sort(w+1,w+1+n,cmpx);
	s[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+(w[i].x-w[i-1].x)*(i-1);
	g[n+1]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--)g[i]=g[i+1]+(w[i+1].x-w[i].x)*(n-i);
	for(int i=1;i<=n;i++)ans[w[i].op]=s[i]+g[i];
	sort(w+1,w+1+n,cmpy);
	s[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+(w[i].y-w[i-1].y)*(i-1);
	g[n+1]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--)g[i]=g[i+1]+(w[i+1].y-w[i].y)*(n-i);
	for(int i=1;i<=n;i++)ans[w[i].op]+=s[i]+g[i];
	LL maxx=1LL<<63-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)maxx=min(maxx,ans[i]);
	printf("%lld\n",maxx/2);
	return 0;
}