切比雪夫距离

曼哈顿距离

若有点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，则$A,B$两点的曼哈顿距离为$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。

若要求$n$个点两两之间的曼哈顿距离之和，因为$x$的贡献和$y$的贡献是分开的，所以我们可以分别处理。

将$n$个点的$x$和$y$分别排序，用前缀和来求解。时间复杂度为$O(n\log n)$。

切比雪夫距离

曼哈顿距离可以理解为每次可以向上、下、左、右四个方向中的一个方向走一步，从一点走到另一点的的最小步数。

则切比雪夫距离就是可以向八个方向中的一个方向走一步，从一点走到另一点的的最小步数。

若有点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，则$A,B$两点的切比雪夫距离为$\max (|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$。

若要求$n$个点两两之间的切比雪夫距离之和，因为$x$的贡献和$y$的贡献不是独立的，所以好像只能一个个枚举，用$O(n^2)$的时间复杂度来求解。

难道真的没有更快的做法吗？

优化

我们可以将原坐标系上的点逆时针旋转$45^{\circ }$，则$A(x_1,y_1)$在旋转后的坐标为$(x_A,y_A)$

$x_A=x_1\cos 45^{\circ }-y_1\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}(x_1-y_1)$

$y_A=x_1\sin 45^{\circ }+y_1\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}(x_1+y_1)$

再将点到原点的距离放大到原来的$\sqrt{2}$倍，得$x_A=x_1-y_1,y_A=x_1+y_1$

同理，$B(x_2,y_2)$通过上述转换后的坐标为$B^{\prime }(x_B,y_B)$，$x_B=x_2-y_2,y_B=x_2+y_2$

$A,B$的切比雪夫距离为$\max (|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$

$A^{\prime },B^{\prime }$的曼哈顿距离为$|x_A-x_B|+|y_A-y_B|=|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|+|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|$
$=|(x_1-x_2)-(y_1-y_2)|+|(x_1-x_2)+(y_1-y_2)|$

令$t_x=x_1-x_2,t_y=y_1-y_2$

$A,B$的切比雪夫距离为$\max (|t_x|,|t_y|)$，$A^{\prime },B^{\prime }$的曼哈顿距离为$|t_x-t_y|+|t_x+t_y|$

• 若$t_x>0,t_y>0$，$|t_x-t_y|+|t_x+t_y|$在$t_x>t_y$时为$2t_x$，在$t_x<t_y$时为$2t_y$
• 若$t_x>0,t_y<0$，$|t_x-t_y|+|t_x+t_y|$在$t_x>-t_y$时为$2t_x$，在$t_x<-t_y$时为$-2t_y$
• 若$t_x<0,t_y>0$，$|t_x-t_y|+|t_x+t_y|$在$-t_x>t_y$时为$-2t_x$，在$-t_x<t_y$时为$2t_y$
• 若$t_x<0,t_y<0$，$|t_x-t_y|+|t_x+t_y|$在$-t_x>-t_y$时为$-2t_x$，在$-t_x<-t_y$时为$-2t_y$

经过分类讨论，我们发现$A^{\prime },B^{\prime }$的曼哈顿距离为$A,B$的切比雪夫距离的两倍。由此可得，在求$n$个点两两之间的切比雪夫距离之和时，将每个点逆时针旋转$45^{\circ }$在放大到原来的$\sqrt{2}$倍，求新的点的曼哈顿距离，在除以2即为原来$n$个点的切比雪夫距离。

这样求$n$个点两两之间的切比雪夫距离，时间复杂度为$O(n\log n)$。