[bzoj4518][DP]征途

最新推荐文章于 2022-07-29 14:55:32 发布

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本文介绍了一种解决行程规划问题的算法，旨在使每天行走路程的方差最小化。通过动态规划结合斜率优化技术，实现了高效求解。文章详细阐述了算法的设计思路与实现细节。

Description

Pine开始了从S地到T地的征途。从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。
Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。
Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。帮助Pine求出最小方差是多少。
设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。

Input

第一行两个数 n、m。第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

Output

一个数，最小方差乘以 m^2 后的值

Sample Input

5 2

1 2 5 8 6

Sample Output

36

HINT

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

题解

搞个DP,f[i][j]设为以i为结尾，分j段的最小方差，设T为平均数,sum[i]表示i的前缀和
显然f[i][j]=min(f[k][j-1]+(sum[i]-sum[k]-T)^2)
首先这样会被卡精度，那我们把m^2乘进去，T可以化成sum[n]/m，设s=sum[i]-sum[k]
然后可以得到，原式=f[k][j-1]+s^2*m^2+sum[n]^2-2*s*sum[n]*m
再搞个斜率优化
设k比l优秀
那么有f[k][j-1]+s1^2*m^2+sum[n]^2-2*s1*sum[n]*m < f[l][j-1]+s2^2*m^2+sum[n]^2-2*s2*sum[n]*m
大力推一波式子，可以得到(f[k][j-1]+sum[k]*sum[k]-f[l][j-1]-sum[l]*sum[l])/(sum[k]-sum[l])<2*sum[i]
斜率优化即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m;
LL f1[3100],f2[3100];
LL a[3100],sum[3100];
int list[111000],head,tail;
LL Y(int x){return f2[x]+sum[x]*sum[x];}
LL slop(int l,int k){return (Y(k)-Y(l))/(sum[k]-sum[l]);}
int main()
{
    sum[0]=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)f2[i]=sum[i]*sum[i];
    for(int j=2;j<=m;j++)
    {
        head=tail=1;list[head]=j-1;
        for(int i=j;i<=n;i++)
        {
            while(head<tail && slop(list[head],list[head+1])<2*sum[i])head++;
            f1[i]=f2[list[head]]+(sum[i]-sum[list[head]])*(sum[i]-sum[list[head]]);
            while(head<tail && slop(list[tail-1],list[tail])>slop(list[tail],i))tail--;
            list[++tail]=i;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)f2[i]=f1[i];
    }
    printf("%d\n",m*f1[n]-sum[n]*sum[n]);
    return 0;
}