『树形DP』计数

题目描述

题解

涉及到前序遍历，中序遍历方面一定可以得到一个特性，即：一棵子树一定是一个连续的区间。

这里的限制只是为了保证转移的合法性，我们设$f[i][j]$表示前序遍历中对区间[i,j]作为一棵树的方案数。

我们如何判断转移的合法性呢？

• 如果不存在$i$连向$[j+1,r]$的边，说明不存在右子树，可以累加答案。
• 反之如果不存在$[j+1,r]$连向$i$的边，说明不存在左子树，同样可以累加答案。
• 我们根据前序遍历的特性，两个子树一定是两个区间，我们在枚举中间的断点$k$满足i没有向$[i+1,k]$连边，$[k+1,j]$没有向i连边，$[k+1,j]$没有向$[l+1,k]$连边即可。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

#define upd(a,b) (a=(a+b)%P)
#define For(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)

using namespace std;
const int N = 500;
const int P = 1e9+7; 

int a[N][N], f[N][N];

int read(void)
{
	int s = 0, w = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') w |= c == '-', c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') s = s*10+c-48, c = getchar();
	return w ? -s : s;
}

int ask(int x1,int x2,int y1,int y2) {
	return a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1];
}

int work(void)
{
	int n = read(), m = read();
	memset(a,0,sizeof a);
	memset(f,0,sizeof f);
	For(i,1,m) a[read()][read()] = 1;
	For(i,1,n) For(j,1,n) 
		a[i][j] += a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
	For(i,1,n) f[i][i] = 1;
	For(len,2,n) For(i,1,n-len+1)
	{
		int j = i+len-1;
		if (!ask(i,i,i+1,j)) upd(f[i][j],f[i+1][j]);//右子树为空 
		if (!ask(i+1,j,i,i)) upd(f[i][j],f[i+1][j]);//左子树为空
		For (k,i+1,j-1) if (!ask(i,i,i+1,k) && !ask(k+1,j,i,i) && !ask(k+1,j,i+1,k))
		    upd(f[i][j],1LL*f[i+1][k]*f[k+1][j]%P);
	}
	return f[1][n];
}

int main(void)
{
	freopen("input.in","r",stdin);
	freopen("output.out","w",stdout);
	int T = read(); 
	while (T --) printf("%d\n", work()); 
	return 0;
}