复数和四元数的几何意义

将平面看成是复数空间平面时，绕原点O旋转$\theta$角度等价于乘上下面的数
$$e^{i\theta }=\cos (\theta )+\sin (\theta )$$

这些数字的集合构成一个单位圆或者称为1-d球体
S1={z:∣z∣=1} S^1 = \{z:|z| = 1\} S1={z:∣z∣=1}
其中$S^1$不仅是一个几何实体，在复数乘法下也构成一个代数结构，称之为群。其乘法运算$e^{i{\theta }_i}\cdot e^{i{\theta }_2}=e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$,逆运算$(e^{i\theta }{)}^{-1}=e^{i(-\theta )}$光滑的依赖于参数$\theta$。这种光滑的性质，使得$S^1$被称为李群（Lie group)

然而，在某些方面$S^1$过于特殊，无法很好的说明李理论。$S^1$群是一维的并满足交换律（复数乘法满足交换律），这些复数性质使得其在李理论中过于特殊。

为了获得更有意义的李群，我们定义四维的代数四元数，以及在四维空间中的3维球体$S^3$。在四元数的乘法下，$S^3$构成一个和空间旋转相关的非交换李群记为$SU(2)$。

平面上的旋转

如下图所示，在$R^2$空间中绕原点$O$旋转角度$\theta$可以认为是一个线性变换$R_{\theta }$,将基向量$(0,1)$和$(1,0)$变换到$(\cos \theta ,\sin \theta )$和$(-\sin \theta ,\cos \theta )$。

对于一般的向量可以看成基向量的线性组合
$$(x,y)=x(1,0)+y(0,1)\to (x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$$
因此，旋转变换可以用如下的矩阵表达
$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
我们将其该矩阵为$R_{\theta }$。对于点$(x,y)$的旋转变换等价于列向量$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$左乘矩阵$R_{\theta }$。
$$R_{\theta }\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right)$$
由于在左侧乘上矩阵，因此先乘上$R_{\varphi }$然后乘上$R_{\theta }$等价于乘上它们的乘积矩阵$R_{\varphi }{R}_{\theta }$。

因此我们可以使用矩阵的连乘运算表达几何上连续的旋转操作。本书的主要目的在于阐明如下观点，能通过矩阵群的表达方式来研究线性变换群。目前你可以将矩阵群看作包含矩阵$A$，$B$，矩阵$AB$，和矩阵$A^{-1}$,$B^{-1}$的一个集合。后续内容中（在7.2节）将介绍额外的条件保证矩阵群的光滑性，目前我们不需要考虑光滑性的准确含义。

对任意角度$\theta$的矩阵$R_{\theta }$构成了所谓的特殊正交群$SO(3)$,将旋转称为正交变换的原因我们将在第三章中提及，并将旋转的思想拓展到$R^n$空间中，并为每一维空间定义一个群$SO(n)$。在本章我们主要关注$SO(2)$和$SO(3)$,他们在某些方面是有代表意义的。

对于$R^2$空间中的一个旋转，可以用一个复数来表达
$$z_{\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
因对对任意一个点$(x,y)=x+iy$乘上$z_{\theta }$能够得到：
$$\begin{array}{rl}{z}_{\theta }(x+iy)& =(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\ & =(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )\end{array}$$
其结果等于对点$(x,y)$旋转角度$\theta$。普通的乘法$z_{\theta }{z}_{\varphi }$就表达了$R_{\theta }$和$R_{\varphi }$的组合。
$R^3$空间中的旋转能够被稍微复杂一点的“四维数”，四元数表达。我们将在1.2节首先介绍复数和$2\times 2$矩阵之间的关系,然后1.3节中通过$2\times 2$的复数矩阵引入四元数。

什么是李群

李群最一般的定义为它是一个群并且是一个光滑流形。这意味着该群的乘法和求逆运算在流形G上是一个光滑的函数。

复数的矩阵表达

矩阵$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$与复数$z_{\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$的等价性，能够在如下的线性组合的形式下看出
$$R_{\theta }=\cos \theta \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\sin \theta \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
基矩阵为
$$1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),i=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
满足如下性质
$$1^2=1,1i=i1=i,i^2=-1$$
因此矩阵$1,i$和复数$i,i$具有完全相同的性质。这意味着
$$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=a1+bi$$
在加法、乘法运算下所有的复数都能用$2\times 2$的矩阵表达，不局限于表达旋转的复数$z_{\theta }$。这种表达提供了复数的特定性质的线性代数表达，例如

• 复数的绝对值$|a+bi{|}^2=a^2+b^2$等于$2\times 2$矩阵的秩。
• 绝对值的连乘性质$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$来自于矩阵秩的连乘性质
  $$\det (A_1{A}_2)=\det (A_1)\det (A_2)$$
• 复数的逆对应于矩阵的逆$z^{-1}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$
  $${\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$$

两平方等价性质

对于复数$z_1=a_1+b_{1}i$和$z_2=a_2+b_{2}i$满足如下性质
$$(a{1}^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2{)}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1{)}^2$$

四元数

将有序对$(a,b)$表达为复数$a+bi$或者矩阵$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$则可以定义有序对的和、积和绝对值。同样对于四维有序对(a,b,c,d)能够表达为矩阵形式
$$q=\left(\begin{array}{cc}a+id& -b-ic\\ b-ic& a-id\end{array}\right)$$
我们将其称为四元数$q=a+bi+cj+dk$的矩阵形式，同样的对于两种形式的表达能够定义平方绝对值$|q{|}^2$
$$\det q=\det \left(\begin{array}{cc}a+id& -b-ic\\ b-ic& a-id\end{array}\right)=a^2+b^2+c^2+d^2$$
因此$|q{|}^2$等于点$(a,b,c,d)$到原点$O$在$R^4$空间中的平方距离。

四元数的和运算和加法具有相同的性质，即

• 交换律 $q_1+q_2=q_2+q_1$
• 结合律 $q_1+(q_2+q_3)=(q_1+q_2)+q_3$
• 求逆 $q+(-q)=0$
• 单位元 $q+0=q$

四元数的乘法并不满足交换律，也就是说$q_1{q}_2=q_2{q}_1$不成立，但是对于矩阵乘法运算的一些性质可以直接套用到四元数乘法中：

• 结合律 $q_1(q_2{q}_3)=(q_1{q}_2)q_3$
• 逆元 $q{q}^{-1}=1,q\ne 0$
• 单位元 $q1=q$
• 左分配律 $q_1(q_2+q_3=q_1{q}_2+q_1{q}_3$

将四元数写成如下形式能够更好的体现非交换的性质
$$\left(\begin{array}{cc}a+id& -b-ic\\ b-ic& a-id\end{array}\right)=a1+bi+cj+dk$$
其中
$$1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),i=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),j=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right),k=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)$$
因此有$i^2=j^2=k^2=-1$
非交换性集中体现在$i,j,k$之间乘积上，两个不同元素的乘积为圆上的第三个元素。

如果箭头从第一个元素指向第二个元素则得到正号，反之则是负号。例如,$ij=k$但是$ji=-k$因此$ij\ne ji$

四元数的不可交换性实际上是一个好事，因为这样就能表达一些非交换的旋转，例如在三维空间中的旋转变换则为非交换的。

和复数一样，四元数的一些不明显的性质也有相应的线性代数的解释。

• 绝对值的交换律 |q_1 q_2| = |q_1||q_2|,等价于矩阵秩的交换律$\det (q_1{q}_2)=\det (q_1)\det (q_2)$
• 矩阵的逆对应四元数的逆,对于$q=a1+bi+cj+dk$
  $$q^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}(a1-bi-cj-dk)$$
• 四元数$a1-bi-cj-dk$称为原四元数的共轭四元数$\hat{q}$,有$q\hat{q}=a^2+b^2+c^2+d^2=|q{|}^2$
• 共轭四元数性质$\widehat{(q_1{q}_2)}=\widehat{q_1}\widehat{q_2}$

单位四元数构成的三维球体

绝对值等于一的四元数称为单位四元数，满足如下等式
$$a^2+b^2+c^2+d^2=1$$
因此，在四维空间（a,b,c,d）中构成了一个三个自由度的球体$S^3$。从累乘的性质可以看出，单位四元数的乘积依旧是一个单位四元数，因此$S^3$是在四元数乘法下的群。类似于单位复数构成的一维球体，单位四元数构成的三维球体尽管不是那么直接能看出来，但同样包含了一组旋转。接下来两节中，我们将展示单位四元数是如何表达$R^3$空间中的旋转。

绝对值乘法的结果

对于复数和四元数，绝对值乘法首先作为平方和的性质。出现在数论中。人们非常晚才注意到其将乘法和$R^2,R^3$空间中的刚体运动的联系起来。假设$u$是绝对值为1的复数，考虑$v$和$w$是任意的两个复数，$uv,uw$分别是相乘后的四元数。

$uv$到$uw$之间的距离
$$|uv-uw|=|u(v-w)|=|u||v-w|=|v-w|$$

换句话说乘上一个单位四元数，是一个刚体变换或者说平面中的等距变换，不改变两点之间的距离。此外等距变换保持原点是固定的，因为$u\times 0=0$。如果$u\ne 1$,那么没有其他点是固定的，因为$uv=v$仅当$u=1$时成立。因此具有这些特性的运动只有绕原点$O$的旋转。

至少就保持距离而言，同样的论点也适用于四元数乘法。因此将这种等距性解释为$R^4$空间的旋转，但是我们首先希望展示四元数的乘法提供了研究$R^3$空间中的旋转的一种方法。在了解原因之前，我们先来看四元数的一个自然三维子空间。

纯虚四元数

纯虚四元数有如下的形式
$$p=bi+cj+dk$$
它们构成一个三维空间，我们记为$Ri+Rj+Rk$,有时候简记为$R^3$。形如$a1$的四元数构成的空间线$R1$的正交补空间则为$Ri+Rj+Rk$空间。从现在起，我们把实四元数写成1，简单地用R表示实四元数线。

显然，$Ri+Rj+Rk$空间中的两个元素和也是$Ri+Rj+Rk$空间中的元素，但是对于乘积则并非如此。实际上，如果$u=u_{1}i+u_{2}j+u_{3}k$,$v=v_{1}i+v_{2}j+v_{3}k$,则他们的乘积如下
$$\begin{gathered} uv=-(u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3)+(u_2{v}_3-u_3{v}_2)i \\ -(u_1{v}_3-u_3{v}_1)j+(u_1{v}_2-u_2{v}_1)k \end{gathered}$$

利用线性代数中的点乘和叉乘表达四元数的乘法为
$$uv=-u\cdot v+u\times v$$
公式表明，如果$u,v$同向或者反向，则有$u\times v=0$,因此$uv$为实四元数。特殊的，如果$u\in Ri+Rj+Rk$并且$|u|=1$,那么
$$u^2=-u\cdot u=-|u{|}^2=-1$$
因此对于任意的属于$Ri+Rj+Rk$的单位向量，都是“-1的平方根”。

空间旋转的四元数表达

绝对值为1的四元数和绝对值为1的复数一样，有实部值为$\cos \theta$并且有虚部值为$\sin \theta$,正交于实部，因此位于$Ri+Rj+Rk$空间中，这意味着
$$t=\cos \theta +u\sin \theta$$
其中，u为$Ri+Rj+Rk$空间中的一个单位向量，并且由上一节可知$u^2=-1$。

这样一个单位四元数$t$包含了$Ri+Rj+Rk$空间中的旋转，尽管不是简单的使用乘法，因为t和$Ri+Rj+Rk$空间中的一个元素相乘得到的四元数可能不属于$Ri+Rj+Rk$空间。实际上我们对任意一个$q\in Ri+Rj+Rk$进行$t^{-1}qt$的运算，返回的值一定是$Ri+Rj+Rk$空间中的元素。

为了证明这个结论，我们首先有如下记号
$$t^{-1}=\cos \theta -u\sin \theta$$

• 对于实四元数$r$,则有$t^{-1}rt=r$,因此对于四元数的实部一定映射到实部。
• 由于$t$可逆，则有$p=t^{-1}qt$对应的逆映射$q=tp{t}^{-1}$
• 假设$p=t^{-1}qt\notin Ri+Rj+Rk$,则由第二点知$q=tp{t}^{-1}\notin Ri+Rj+Rk$,与原假设相违背。

因此有结论$\forall q\in Ri+Rj+Rk,t^{-1}qt\in Ri+Rj+Rk$。

四元数旋转定理 ：如果有$t=\cos \theta +u\sin \theta$,其中$u\in Ri+Rj+Rk$,为一个单位向量。那么四元数$t$代表将$Ri+Rj+Rk$空间绕轴$u$旋转$2\theta$角度。

证明：首先观察到直线$Ru$在四元数旋转变换中保持不变，因为
$$\begin{array}{rl}{t}^{-1}ut& =(\cos \theta -u\sin \theta )u(\cos \theta +u\sin \theta )\\ & =(u\cos \theta -u^2\sin \theta )(\cos \theta +u\sin \theta )\\ & =(u\cos \theta +\sin \theta )(\cos \theta +u\sin \theta )\\ & =u({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+\sin \theta \cos \theta +u^2\sin \theta \cos \theta \\ & =u\end{array}$$

任意选取一个单位向量$v$垂直于$u$,则有$u\cdot v=0$,然后定义$w=u\times v$。由此构造了一个$Ri+Rj+Rk$空间中的一个正交坐标系。

对于基向量$v$

同理可推导得到$t^{-1}wt=v\sin 2\theta +w\cos 2\theta$。

根据定义，绕向量$u$的旋转，对于$u$向量上的直线保持位置不变，绕和$u$垂直向量的旋转则可套用2d空间中的旋转公式，因此可知旋转的角度为$2\theta$

定理旋转的乘积依旧是旋转，旋转的逆也是旋转，旋转构成群。

利用单位四元数的性质证明即可，较为简单。