四元数与复数之间的关系

今晚看了《有控飞行力学与计算机仿真》，看到Chapter 2-四元数及其在飞行力学中的应用，然后仔细compare四元数与复数，竟然发现这里面有好多之前没有意识到的东西。我觉得比较有意思，就记录下来，作为我在优快云上的first article。
复数的表达形式是$a +b i$ ，分为实部和虚部两部分。当 $b = 0$ 时，复数就退化为实数。比较有意思的是，复数实质是用二维空间去表示一维空间的数，从这个意义上看，复数所包含的信息超过了实数。以实数$\sqrt{2}$为例，在复平面上，以$（0，0）$为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的所有复数均能表示$\sqrt{2}$，但是复数还包含方向信息，如下图所示。显然，复数就是矢量化的标量。

现在就来讨论四元数，四元数的表达形式是$a +b i + ci + di$。当 $b = c=d=0$ 时，四元数就退化为实数。当$b ，c，d$ 中有两个参数为$0$时，四元数就退化为复数。显然，四元数的实质是用四维空间去表示三维空间的数。比较有意思的是，四元数的另一种表达形式是$a +\vec{theta}$。首先，这两种表达形式在数学上是完全等价的；其次，从这个表达形式上看四元数表示为一个常数加上一个$3$维矢量。因此，用四元数来研究三维空间中刚体的姿态变化包含的信息肯定比用欧拉角要好很多，正如由实数扩展得到的复数包含的信息比实数多一样。