从线性筛到莫比乌斯反演

1. 可积函数

   $若\forall gcd(m,n)=0满足f(a\ast b)=f(a)\times f(b)且\exists f(n)\ne 0则称f(x)为积性函数$

2. 可积函数性质

   1. $F(n)=\sum_{d|n}f(d)\$ 一定是可积函数

   2. $$\begin{gathered} 若F(n)=\sum _{d|n}f(d) \\ 则有F(n)=(1+f(p_1)+f({p_1}^2)+\cdots +f(p_1^{\alpha 1}))(1+f(p_2)+f({p_2}^2)+\cdots +f(p_2^{\alpha 2}))\cdots \end{gathered}$$

3. 线性筛

   1. 关键代码

      for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)关键处1
       {  
      	      	isNotPrime[i * prime[j]] = 1;
      	  		if( !(i % prime[j] ) )  //关键处2
      				break;  
      
      }
      

   2. 每个数会被它最小的质数筛去

   3. 筛欧拉函数

      1. 欧拉函数定义为n与内与其互质的数的个数，特别的$\varphi (1)=1$

      2. $\varphi (n)=n\ast {\prod }_{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}$

      3. 如何筛呢
         $$\begin{gathered} 因为显然有 \\ 当n\%p_1\ne 0时 \\ \varphi (n)=p_1\ast \frac{n}{p_1}\ast \varphi (\frac{n}{p_1}) \\ 当n\%p==0时 \\ \varphi (n)=(p_1-1)\ast \frac{n}{p_1}\ast \varphi (\frac{n}{p_1}) \\ 那么第一次如果(!(i\%prime[j]))就乘(prime[j]-1)否则乘(prime[j]) \end{gathered}$$

   4. 筛莫比乌斯函数

      1. 如果$\%prime[i]==0$ 那么$\mu (i\ast prime[j])$显然等于0，否则等于$-\mu (i)$

   5. 筛约数个数

      1. $设n=p_1^{\alpha 1}\cdots p_k^{\alpha k}$

         $fac(n)=({\alpha }_1+1)\ast ({\alpha }_2+1)\ast \cdots \ast ({\alpha }_k+1)$

         记录最小质因数当前的次数即可

   6. 筛约数和

      1. $设n=p_1^{\alpha 1}\cdots p_k^{\alpha k}$

         $sum(n)={\sum }_{j=0}^{{\alpha }_1}{p}_1^j\ast \cdots \ast {\sum }_{j=0}^{{\alpha }_k}{p}_k^j$

         记录最小质因数当前次方之后是多少

      2. 还有一个可能在别的地方用的$d(i,j)=={\sum }_{x|i}{\sum }_{y|j}[gcd(i,j)==1]$

4. 莫比乌斯函数定义

   1. $若d=0\ 则\ \mu(d)=0 $

   2. $若d=p_1\ast p_2\ast p_3\ast \cdots \ast p_n其中p_i为互异的质数，则\mu (d)=(-1{)}^n$

   3. $其他情况\mu (d)=0$

5. 莫比乌斯函数性质

   1. ${\Sigma }_{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ 0,n\ne 1\end{array}$
   2. $可用欧拉函数可进行代换{\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$
   3. 给定一个数列a和一个数列x，数列中与x互素的数的个数为 $\Sigma_{d|n}\mu(d)cnt_d $ $cn{t}_d$指的是数列中有多少数是d的倍数
   4. 一个数的因子数是logn级别的（显然）
   5. ${\sum }_{d|n}\mu (d)\ast \lfloor \frac{n}{d}\rfloor =\varphi (n)$
   6. 反演定理 ，一般不用，但是可以和第2大点产生联系

   $$\begin{gathered} 若有F(n)=\sum _{d|n}f(d) \\ 则有f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)\ast F(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ) \end{gathered}$$

6. 一般都不会使用反演公式的，$一般利用[gcd(i,j)==1]={\Sigma }_{d|gcd(i,j)}\mu (d)$

7. 例一：求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m[gcd(i,j)==1]$
   $$\begin{gathered} =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d) \\ =\sum _{d=1}^n\mu (d)\ast \lfloor \frac{n}{d}\rfloor \ast \lfloor \frac{m}{d}\rfloor \end{gathered}$$
   例二：求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m[gcd(i,j)==k]$
   $$=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }[gcd(i,j)==1]$$
   例三：求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m\ast i\ast j\ast [gcd(i,j)==k]$
   $$\begin{gathered} =\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }\ast i\ast k\ast j\ast k\ast [gcd(i,j)==1] \\ =\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }\ast i\ast k\ast j\ast k\ast \sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d) \\ =k^2\sum _{d=1}^n\mu (d)\ast d\ast d\ast \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k\ast d}\rfloor }\ast i\ast \sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k\ast d}\rfloor }\ast j(这一步是因为本身是乘d的倍数的，把d除掉就是等差数列了) \end{gathered}$$
   例四：求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}gcd(i,j)$

$$\begin{gathered} =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|gcd(i,j)}\varphi (d) \\ =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\ast \lfloor \frac{n}{d}\rfloor \ast \lfloor \frac{m}{d}\rfloor \end{gathered}$$

​ 例五：求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}lcm(i,j)$
$$\begin{gathered} =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{i\ast j}{gcd(i,j)} \\ =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{i\ast j}{d}\ast [(gcd(i,j)==d] \\ =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}\rfloor }i\ast j\ast [(gcd(i,j)==1] \\ =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }i\ast j\ast \sum _{k|gcd(i,j)}\mu (k) \\ =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (k)\ast k^2\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }i\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{dk}\rfloor }j \end{gathered}$$
​ 可以$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$分一个块$\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor$再分一个块可做

​ 不过还有更神奇的代换方式令$T=dk,f(x)={\sum }_{i=1}^{x}i$，则有
$$\begin{gathered} =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (k)\ast k^2\ast f(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )\ast f(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor ) \\ 枚举T \\ =\sum _{T=1}^{n}f(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )\ast f(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor )\ast \sum _{d|T}d\ast \mu (\frac{T}{d})\ast {(\frac{T}{d})}^2 \\ d和\frac{T}{d}代换一下 \\ =\sum _{T=1}^{n}f(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )\ast f(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor )\ast \sum _{d|T}d\ast \mu (d)\ast T \\ 观察\sum _{d|T}d\ast \mu (d) \\ 当a\perp b \\ \sum _{d|a}d\ast \mu (d)与\sum _{d|b}d\ast \mu (d)对\sum _{d|a\ast b}d\ast \mu (d)贡献独立 \\ \therefore f(a\ast b)=f(a)\ast f(b) \\ 且\therefore 如果a为质数f(a)=1-a \\ 当a\%b==0 \\ \because a里的元素和b里的元素相乘，\mu 不等于0的都在a里了 \\ 显然f(a\ast b)=f(a) \\ \sum _{d|T}d\ast \mu (d)就可求了，做前缀和的时候把T乘上就好了分个块，整个式子就可以求了 \end{gathered}$$

8. 好题汇总：
   1. bzoj4407 $求{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{gcd(i,j)}^k$ ，最后主要解决的卷积是$h(d)={\sum }_{d|n}{d}^k\ast \mu (\frac{n}{d})$ ，发现只有$p_i^{\alpha }\ast \mu (1)+p_i^{\alpha -1}\ast \mu (p_i)$有意义，更新即可。
   2. CF1285 F 利用莫比乌斯函数的性质，计算。

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