《C++算法竞赛攻略：从入门到降维打击》——第13章

第13章：背包问题 (Knapsack Problem)

背包问题是动态规划中的一类经典问题，也是各类机试和竞赛中的常客。它描述了在给定容量的背包和一组具有价值和重量（或体积、成本）的物品时，如何选择物品放入背包以使得总价值最大化。背包问题的变种极多，但其核心思想和解法范式是相通的。掌握了背包问题，不仅能解决一系列相关题目，更能加深对动态规划“状态”与“选择”精髓的理解。

本章将重点介绍三种最核心的背包模型：0-1背包、完全背包和多重背包，并详细讲解如何通过状态压缩（滚动数组）技巧来优化空间复杂度。

13.1 0-1背包

问题描述

这是最简单的背包模型。我们有 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包。第 $i$ 件物品的成本（或重量）是 $w_i$，价值是 $v_i$。每件物品只有一件，你可以选择将它放入背包，也可以选择不放。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的成本总和不超过背包容量，且价值总和最大。

核心思想与DP分析

0-1背包的“0-1”正体现在每件物品只有两种选择：不放（0）或放（1）。这是典型的动态规划应用场景。

1. 状态表示 (dp 数组的含义):
   我们定义一个二维数组 dp[i][j]。它的含义是：从前 $i$ 件物品中任意选择，放入一个容量为 $j$ 的背包中所能获得的最大价值。我们的最终目标就是求 dp[N][V]。

2. 状态转移方程:
   当我们面对第 $i$ 件物品时，需要决定是否将其放入容量为 $j$ 的背包中。此时，我们有两种决策：

   • 不放第 $i$ 件物品：如果我们不放第 $i$ 件物品，那么问题就转化为：用前 $i-1$ 件物品来填满容量为 $j$ 的背包。此时的最大价值就是 dp[i-1][j]。
   • 放第 $i$ 件物品：要放下第 $i$ 件物品，前提是背包的当前容量 $j$ 必须大于等于物品 $i$ 的成本 $w_i$。如果满足这个条件，我们获得的价值就是物品 $i$ 本身的价值 $v_i$，加上用前 $i-1$ 件物品来填满剩余容量 $j-w_i$ 的背包所能获得的最大价值，即 v_i + dp[i-1][j - w_i]。

   既然要求最大价值，我们自然是在这两种决策中选择更优的一个。因此，状态转移方程如下：

   $$dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i)(j\ge w_i)$$

3. 初始化:
   当没有物品可选 ($i=0$) 或者背包容量为0 ($j=0$) 时，最大价值显然为0。因此，可以将整个 dp 数组初始化为0。

C++实现 (二维数组)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 101;
const int MAXV = 1001;

int w[MAXN]; // 物品的成本
int v[MAXN]; // 物品的价值
int dp[MAXN][MAXV]; // dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包的最大价值

int main() {
   
   
    int N, V;
    cin >> N >> V; // 物品数量和背包容量

    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
   
   
        cin >> w[i] >> v[i];
    }

    // 初始化dp数组，在C++中全局数组默认初始化为0，这里可以省略
    // for (int i = 0; i <= N; ++i) {
   
   
    //     for (int j = 0; j <= V; ++j) {
   
   
    //         dp[i][j] = 0;
    //     }
    // }

    // 开始动态规划
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
   
   
        for (int j = 0; j <= V; ++j) {
   
   
            // 首先，不放第i件物品
            dp[i][j