《Python算法竞赛攻略：从入门到降维打击》—

第11章：数学与数论

数学是算法的基石。在算法竞赛中，总有一些题目在“暴力”的外衣下，隐藏着一个数学或数论的内核。能否看穿这一点，并用高效的工具解决它，往往是区分“暴力选手”和“技巧选手”的关键。本章将聚焦于竞赛中最常遇到的数论与数学问题，并展示Python如何利用其丰富的标准库和语言特性，将复杂的数学计算“降维打击”为几行优雅的代码。

11.1 质数与约数：筛法、`math.gcd`, `math.lcm`

质数和约数是数论问题的起点，几乎贯穿了数论的全领域。

1. 质数 (Prime Number)

质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

判断单个质数：试除法
最直观的方法是试除法：检查从2到 $N\sqrt{N}$ 的所有整数能否整除 $N$ 。如果都不能，那么 $N$ 就是质数。这个方法的时间复杂度为 $O(N)O(\sqrt{N})$ ，适用于 $N$ 比较大但判断次数不多的情况。

import math

def is_prime(n: int) -> bool:
    """判断一个数是否为质数"""
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# 示例
print(f"13 is prime: {
       
       is_prime(13)}")  # True
print(f"20 is prime: {
       
       is_prime(20)}")  # False

批量生成质数：埃氏筛 (Sieve of Eratosthenes)
当需要找出一定范围（例如 $1$ 到 $10^6$ ）内所有质数时， $O(N)O(\sqrt{N})$ 的试除法会超时。此时，更高效的策略是“筛法”。埃氏筛是其中最经典、最常用的算法。

其思想是：从2开始，将每个质数的倍数都标记为合数。一个数如果没有被前面的质数标记过，那它一定是质数。

def prime_sieve(n: int) -> list[bool]:
    """
    埃氏筛法，返回一个布尔列表，is_prime[i]为True表示i是质数。
    时间复杂度: O(N log log N)
    """
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False  # 0和1不是质数
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            # i的倍数(从i*i开始)都不是质数
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    return is_prime

# 找出100以内的所有质数
limit = 100
primes_bool = prime_sieve(limit)
prime_numbers = [i for i, is_p in enumerate(primes_bool) if is_p]
print(f"Primes up to {
       
       limit}: {
       
       prime_numbers}")
# 输出: Primes up to 100: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

埃氏筛的代码简洁，效率极高，足以应对绝大多数竞赛场景。

2. 约数 (Divisor)

最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)
在C++中，你可能需要自己手写欧几里得算法（辗转相除法）来求GCD。但在Python中，这完全是降维打击。math库已经为我们提供了现成、高效的函数。
- math.gcd(a, b): 计算a和b的最大公约数。
- math.lcm(a, b): 计算a和b的最小公倍数 (Python 3.9+)。
```
import math

a, b = 48, 18

# 最大公约数
gcd_val = math.gcd(a, b)
print(f"GCD 
```