《C++算法竞赛攻略：从入门到降维打击》——第14章

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第14章：区间DP、树形DP与其他

欢迎来到动态规划的进阶领域。在前两章，我们已经掌握了线性DP和背包DP，它们通常处理序列或集合问题。本章将介绍三种更特殊的DP模型，它们建立在特定的结构之上：区间DP处理“合并”与“分割”问题，树形DP在树状结构上进行状态转移，而状压DP则利用二进制位运算巧妙地处理小规模集合状态。掌握它们，你将能攻克更多结构性强的复杂问题。

14.1 区间DP模型与实现

1. 核心思想

区间DP，顾名思义，是在一个“区间”上进行动态规划。它通常用于解决一类可以被分解为子区间，并且子区间的解能够合并为父区间解的问题。

其鲜明特征是：

• 合并/分割：问题最终要求解整个序列（大区间）上的最优值，而这个最优值来自于其所有子区间的某个最优组合。例如，石子合并问题、括号匹配问题、矩阵链乘问题等。
• 状态表示：通常使用二维数组 $dp[i][j]$ 表示区间 $[i,j]$ 上的最优值。
• 递推顺序：DP的计算顺序不再是简单的从左到右。而是依赖于区间长度。我们总是先计算出所有长度为1的区间的值，然后是长度为2的，接着是长度为3的…直到最后计算出我们想要的、覆盖整个序列的区间 $[1,N]$ 的值。

2. 区间DP解题模板

区间DP的实现代码具有高度的模式化，其骨架如下：

1. 初始化 (Initialization)：初始化长度为1的区间，即 $dp[i][i]$ 的值。
2. 枚举区间长度 (Enumerate Length)：外层循环从 $len=2$ 到 $N$。
3. 枚举区间起点 (Enumerate Start)：中层循环枚举区间的左端点 $i$，则右端点 $j=i+len-1$。
4. 枚举分割点 (Enumerate Split Point)：内层循环在区间 $[i,j]$ 中枚举分割点 $k$ (KaTeX parse error: Undefined control sequence: \< at position 9: i \le k \̲<̲ j) 。
5. 状态转移 (State Transition)：根据分割点 $k$ 将区间 $[i,j]$ 分为 $[i,k]$ 和 $[k+1,j]$ 两部分，进行状态转移。

状态转移方程的一般形式为：
dp[i][j]=min⁡i≤k<j/max⁡i≤k<j{ dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost(i,j)}dp[i][j] = \min_{i \le k < j} / \max_{i \le k < j} \{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + \text{cost}(i, j) \}dp[i][j]=i≤k<jmin​/i≤k<jmax​{ dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost(i,j)}
其中 $\text{cost}(i,j)$ 表示合并两个子区间的代价。

3. C++ 实现与经典例题：石子合并

问题描述：在一个圆形操场的四周摆放着N堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。求将所有石子合并成一堆的最小得分。

分析：这是一个典型的区间DP问题。我们用 $dp[i][j]$ 表示合并区间 $[i,j]$ 的石子堆所需的最小代价。为了合并区间 $[i,j]$，我们必然是先将某个子区间 $[i,k]$ 合并成一堆，再将子区间 $[k+1,j]$ 合并成一堆，最后将这两堆合并。

• 状态表示：$dp[i][j]$ 表示合并第 $i$ 堆到第 $j$ 堆石子的最小代价。
• 状态计算：$dp[i][j]={\min }_{i\le k<j}dp$