《C++算法竞赛攻略：从入门到降维打击》——第8章

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#算法 #c++

于 2025-07-03 02:46:34 首次发布

第八章：双指针与滑动窗口

在处理数组或字符串的许多问题中，我们常常会不自觉地写出嵌套循环，形成 $O(N^2)$ 的时间复杂度。然而，其中大部分问题都存在一种精妙的优化方法，能将复杂度降低到线性时间 $O (N)$ ，这就是双指针技术。双指针不是一个特定的算法，而是一种通用的编程思想和技巧，是优化暴力枚举的利器。

8.1 思想：优化 $O(N^2)$ 遍历的利器

想象一下，在一个队伍（数组）中寻找符合某种条件的两个人。最朴素的方法是，让第一个人（指针i）不动，第二个人（指针j）从他后面逐个看过去；然后再让第一个人前进一位，第二个人再从新位置后面看一遍……这就是一个典型的嵌套循环，时间复杂度为 $O(N^2)$ 。

双指针思想的核心在于：通过利用问题的某些内在特性（如单调性），让两个指针i和j进行方向性、协同性的移动，而不是毫无章法地回溯。两个指针在整个过程中只会从头到尾各扫描一遍数组，总的移动次数是线性的，从而将时间复杂度优化到 $O (N)$ 。

这种思想主要分为两种经典的模型：对撞指针和同向指针（滑动窗口），它们分别适用于不同类型的问题。

8.2 C++实现：同向指针、对撞指针的模型

1. 对撞指针 (Colliding Pointers)

对撞指针，顾名思义，是指两个指针分别位于序列的两端，然后相向移动，直至“对撞”（相遇或交错）。这种模型特别适用于已排序的序列，利用有序性来缩小解的搜索空间。

模型框架：

一个左指针 left 从序列头部（索引0）开始。
一个右指针 right 从序列尾部（索引n-1）开始。
在一个 while (left < right) 循环中，根据 a[left] 和 a[right] 的某种组合关系，决定如何移动指针：
- 如果满足条件，可能同时移动 left 和 right。
- 如果不满足，根据判断只移动其中一个指针，以逼近目标。

C++代码模板：

// 适用于已排序的数组 a
int left = 0, right = a.size() - 1;
while (left < right) {
   
   
    // 根据 a[left] 和 a[right] 的关系进行判断
    if (/* condition is met */) {
   
   
        // 找到一个解，或者更新结果
        // 然后根据题意移动指针，例如：
        left++;
        right--;
    } else if (/* some other condition, e.g., sum is too small */) {
   
   
        // 需要增大结果，移动左指针
        left++;
    } else {
   
    // e.g., sum is too large
        // 需要减小结果，移动右指针
        right--;
    }
}