【数学 密码学】量子通信：光的偏振&极化的量子不确定性特性 + 量子密钥分发 BB84算法步骤

光的偏振（极化，Polarization）

• 在 DD84 协议中，光子被当作信息的载体。我们要给光子贴上“0”或“1”的标签，就必须利用光子的某个物理维度。由于单光子的能量很小，很难通过强度来编码，而极化方向是一个非常稳定且易于测量的物理特性。

• 线极化 (Linear Polarization)： DD84 主要利用线极化。
  • $0^{\circ }$ 极化： 电场矢量在水平方向振动。
  • $90^{\circ }$ 极化： 电场矢量在垂直方向振动。
  • $45^{\circ }$ 极化： 电场矢量沿对角线方向振动。
  • $135^{\circ }$ 极化： 电场矢量沿对角线方向振动。

• 极化的量子特性：不确定性原理是 DD84 能够防窃听的根本原因。在经典物理中，可以同时测量一个波的水平分量和 $45^{\circ }$ 分量。但在量子力学中：

  • 如果一个光子是 $0^{\circ }$ 极化（水平极化） 的。

  • 对于一个 $45^{\circ }$ 的测量设备（偏振片）来说，它只认识两种身份：

    • “ $45^{\circ }$ 的”（允许通过，判定为比特 0）
    • “$135^{\circ }$ 的”（拦截，判定为比特 1）

  • 当用一个 $45^{\circ }$ 的偏振片（光栅） 去测它时，这个光子必须做出选择：要么坍缩成 $45^{\circ }$ 状态通过，要么坍缩成 $135^{\circ }$ 状态被阻挡。

  • 这种“强迫选择”导致了原本的极化信息丢失，且测量结果具有 50% 的随机性。

$$|0^{\circ }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|45^{\circ }⟩+|135^{\circ }⟩)$$

• 当对 $|0^{\circ }⟩$ 态施加对角基测量时，得到 $|45^{\circ }⟩$ 结果的概率是 $|⟨45^{\circ }|0^{\circ }⟩{|}^2=1/2$。

• 注：实际应用中的挑战 退偏振效应。

  • 光纤传输： 单模光纤会因为应力、弯曲或温度变化产生双折射，导致光子的极化方向在传输过程中发生旋转。
  • 解决方法： 实际的 DD84 系统通常需要配备偏振补偿控制器，或者改用对极化不敏感的相位编码（Phase Encoding） 方式（利用马赫-曾德尔干涉仪）。

DD84

• DD84 算法（也常被称为 BB84 算法 的一种变体或扩展研究，但在量子密钥分发领域，DD84 通常指代由 Bennett 和 Brassard 在 1984 年提出的基础协议，部分文献中因特定推演或作者姓名缩写可能被称为 DD84，实质上它就是 量子密钥分发 (QKD) 的鼻祖协议）。假设发送者为 Alice，接收者为 Bob：

第一步：量子传输

1. Alice 生成一组随机比特流。

2. Alice 为每个比特随机选择一种基底（+ 或 ×），并将光子发送给 Bob。两组不相容的基底示例：

   • 直线基 (Rectilinear, +)： 用于编码 $0^{\circ }$ (代表 0) 和 $90^{\circ }$ (代表 1)。
   • 对角基 (Diagonal, ×)： 用于编码 $45^{\circ }$ (代表 0) 和 $135^{\circ }$ (代表 1)。

3. Bob 在接收光子时，也为每个光子随机选择一种基底进行测量。

第二步：基底比对（关键步骤）

1. Bob 通过公开信道（如互联网）告诉 Alice 他测量时选用的基底。
2. Alice 告诉 Bob 哪些基底选对了，哪些选错了。
3. 双方丢弃基底选择不一致的比特，保留基底一致的比特。这部分保留下来的信息被称为筛选密钥 (Sifted Key)。

第三步：窃听检测

1. Alice 和 Bob 从筛选密钥中随机抽取一小部分进行公开比对。
2. 如果发现错误率（QBER）高于某个阈值（通常为 11%），则说明存在窃听者（Eve）。
3. 因为 Eve 无法在不干扰量子态的情况下截获信息，她的测量必然会引入随机错误。

第四步：后续处理

• 如果安全性达标，双方会进行：
  • 纠错 (Error Correction)： 消除信道噪声导致的偏差。
  • 隐私放大 (Privacy Amplification)： 将密钥进一步压缩，确保窃听者即使掌握了部分信息也无法推导出最终密钥。