增广矩阵and线性方程组----线性代数

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本文探讨了齐次与非齐次线性方程组的解法，包括解的存在性和解的结构。详细介绍了系数行列式、克莱姆法则、极大线性无关向量组的概念，并通过增广矩阵解析非齐次线性方程组的求解过程。

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齐次线性方程组：

$(1)只有零解：⇔系数行列式D≠0克莱姆法则：D≠0⇒只有零解极大线性无关向量组：n个n维向量相关⇔矩阵的行列式=0（并且同时交换一个向量组多个相同位置的分量不改变相关性）(1)只有零解：\Leftrightarrow系数行列式D\neq 0 \\ 克莱姆法则：D\neq 0 \Rightarrow只有零解 \\ 极大线性无关向量组：\\ n个n维向量相关 \Leftrightarrow 矩阵的行列式 =0 （并且同时交换一个向量组多个相同位置的分量不改变相关性）$
$有非零解\Leftrightarrow R(A)<n,基础解系的个数为n-R(A)$

非齐次线性方程组：

$(1)有解：⇔R(A)=R(Aˉ(增广矩阵))唯一解⇔R(A)=R(Aˉ)=n无穷多解R(A)=R(Aˉ)<n(1)有解：\Leftrightarrow R(A)=R( \bar A(增广矩阵)) \\ 唯一解 \Leftrightarrow R(A)=R( \bar A)=n \\ 无穷多解 R(A)=R( \bar A)<n$

用增广矩阵解方程组：

化简：
$(10ab∣e01cd∣f0000∣0)\left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } & { a } & { b } & { | } & { e } \\ {0 } & {1} & {c } & { d } & { | } & { f } \\ {0 } & {0} & { 0 } & { 0 } & { |} & { 0 } \end{array}\right)$
$则： \\ x_1+ax_3+bx_4=e\\ x_2+cx_3+dx_4=f\\$

则特解为
$η=\left( \begin{array} { l l } { e } \\ { f } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array}\right)\\ 一般令自由变量为1\\ ξ_1=\left( \begin{array} { l l } { a } \\ { c } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array}\right)ξ_2=\left( \begin{array} { l l } { b } \\ { d } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array}\right)$
则原方程的解为：
$x= η+k_1 ξ_1+k_2ξ_2,(k_1,k_2为任意常数)$

在矩阵的初等变换求逆中也用到了“增广的形式”

$(A∣E)⟶行变换(E∣A−1)\left( \begin{array} { l l } { A } & { | } & { E} \end{array}\right) \stackrel{行变换}{\longrightarrow} \left( \begin{array} { l l } { E } & { | } & { A^{-1}} \end{array}\right)$
$(A−E)⟶列变换(E−A−1)\left( \begin{array} { l l } { A } \\ { - } \\ { E} \end{array}\right) \stackrel{列变换}{\longrightarrow}\left( \begin{array} { l l } { E } \\ { - } \\ { A^{-1}} \end{array}\right)$