GL(m)的拓扑结构，泡利矩阵暂记

最新推荐文章于 2023-06-01 17:52:28 发布

FakeOccupational

最新推荐文章于 2023-06-01 17:52:28 发布

阅读量1.2k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：矩阵线性代数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ResumeProject/article/details/121102081

微分几何专栏收录该内容

3 篇文章

订阅专栏

这篇博客深入探讨了李群GL(m)与李代数gl(m)之间的关系，并详细阐述了特殊正交群SO(3)的流形结构，将其比喻为半径为π的“实心球体”。通过讲解对径认同的概念，解释了SO(3)的几何特性。此外，文章还涉及泡利矩阵，指出它们在厄米矩阵中的角色，并展示了如何构造SU(2)与SO(3)之间的代数同构。最后，通过Python代码实现了SO(3)旋转的可视化，直观展示旋转效果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

GL(m)

在这里插入图片描述
$李群与李代数的关系\\ GL(m)(矩阵det非零)\mapsto gl(m)(也为矩阵，任意m方阵)$

SO(3)

$SO(3)的流型是半径为\pi 的"实心球体"，\\ 球体每一点就是SO(3)的一个群元，其与远点的向量即为旋转轴,距离即为角度$
在这里插入图片描述
$" 实心球体 " 是一种粗略的说法，需要将 Z 与 Z ’ 认同为 (粘起来，商拓扑) 同一个点，叫做对径认同$

$\mapsto o(m) \\ SO(m) \mapsto so(m) \\ o(m) =so(m) =\{ m实方阵A| A^T=-A \} \\$

泡利矩阵

$泡利矩阵\tau_i是厄米的，不是反厄的，连基底都不是，需要略加改造。$
$任何厄米矩阵乘虚单位 i 都是反厄的$
$乘-\frac{i}{2},基矢E_i=-\frac{i}{2}\tau_i$
$这样结构张量就简单了\\ [E_1,E_2]=E_1E_2 -E_2E_1=E_3\\ [E_2,E_3]=E_2E_3 -E_3E_2=E_1\\ [E_3,E_1]=E_3E_1 -E_1E_3=E_2\\ 与so(3)的一样，所以\exists 代数同构 \psi \ su(2)\rightarrow so(3), \psi(E_i)=A_i \\ 但是 SU(2)\neq SO(3)$

$\pi :SU(2)\overrightarrow{\ \ \ 2to1 \ \ \ } SO(3)$

import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from scipy.linalg import expm,logm
from numpy import pi,sin,cos,tan,arccos,matmul
from numpy.linalg import norm
# import matplotlib  as plt
import matplotlib.pyplot as plt
# from robotools import Euler_Rodrigues,SE3tose3

np.set_printoptions(precision=3,suppress=True)
deg = pi/180

def vec2sM(vec):# https://blog.youkuaiyun.com/ResumeProject/article/details/118913851
	return np.array([
			[0,-vec[2],vec[1]],
			[vec[2],0,-vec[0]],
			[-vec[1],vec[0],0]
		])

def sM2vec(sM):
	return np.array([sM[2][1],sM[0][2],sM[1][0]])
x = np.array([1,0,0])
y = np.array([0,1,0])
z = np.array([0,0,1])
dotnum = 20
s = np.array([1,1,1])


X = np.empty([dotnum,3])
Y = np.empty([dotnum,3])
Z = np.empty([dotnum,3])

w=np.linspace(0,1,dotnum)
for i in range (dotnum):
    li=w[i]*s
    M = vec2sM(li)
    A = expm(M)
    X[i] = np.dot(A, x)
    Y[i] = np.dot(A, y)
    Z[i] = np.dot(A, z)





#figure：新的画布
fig=plt.figure()
#axes：坐标轴
ax1=plt.axes(projection='3d')
ax1.scatter3D(0,0,0,cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(X[:,0],X[:,1],X[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(Y[:,0],Y[:,1],Y[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1],Z[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
plt.plot([0,0,0], s, label='x')

从李代数到李群的指数映射并不总是到上，即使该群是连通的（尽管对于紧致或幂零的连通群，它确实映射到李群）

在这里插入图片描述