GL(m)的拓扑结构，泡利矩阵暂记

GL(m)

$$\begin{gathered} 李群与李代数的关系 \\ GL(m)(矩阵det非零)\mapsto gl(m)(也为矩阵，任意m方阵) \end{gathered}$$

SO(3)

$$\begin{gathered} SO(3)的流型是半径为\pi 的"实心球体"， \\ 球体每一点就是SO(3)的一个群元，其与远点的向量即为旋转轴,距离即为角度 \end{gathered}$$

$$"实心球体"是一种粗略的说法，需要将Z与Z’认同为(粘起来，商拓扑)同一个点，叫做对径认同$$

O ( m ) ↦ o ( m ) S O ( m ) ↦ s o ( m ) o ( m ) = s o ( m ) = { m 实 方 阵 A ∣ A T = − A } O(m) \mapsto o(m) \\ SO(m) \mapsto so(m) \\ o(m) =so(m) =\{ m实方阵A| A^T=-A \} \\ O(m)↦o(m)SO(m)↦so(m)o(m)=so(m)={m实方阵A∣AT=−A}

泡利矩阵

$$泡利矩阵{\tau }_i是厄米的，不是反厄的，连基底都不是，需要略加改造。$$
$$任何厄米矩阵乘虚单位i都是反厄的$$
$$乘-\frac{i}{2},基矢E_i=-\frac{i}{2}{\tau }_i$$
$$\begin{gathered} 这样结构张量就简单了 \\ [E_1,E_2]=E_1{E}_2-E_2{E}_1=E_3 \\ [E_2,E_3]=E_2{E}_3-E_3{E}_2=E_1 \\ [E_3,E_1]=E_3{E}_1-E_1{E}_3=E_2 \\ 与so(3)的一样，所以\exists 代数同构\psi su(2)\to so(3),\psi (E_i)=A_i \\ 但是SU(2)\ne SO(3) \end{gathered}$$

$$\pi :SU(2)\overrightarrow{2to1}SO(3)$$

import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from scipy.linalg import expm,logm
from numpy import pi,sin,cos,tan,arccos,matmul
from numpy.linalg import norm
# import matplotlib  as plt
import matplotlib.pyplot as plt
# from robotools import Euler_Rodrigues,SE3tose3

np.set_printoptions(precision=3,suppress=True)
deg = pi/180

def vec2sM(vec):# https://blog.youkuaiyun.com/ResumeProject/article/details/118913851
	return np.array([
			[0,-vec[2],vec[1]],
			[vec[2],0,-vec[0]],
			[-vec[1],vec[0],0]
		])

def sM2vec(sM):
	return np.array([sM[2][1],sM[0][2],sM[1][0]])
x = np.array([1,0,0])
y = np.array([0,1,0])
z = np.array([0,0,1])
dotnum = 20
s = np.array([1,1,1])


X = np.empty([dotnum,3])
Y = np.empty([dotnum,3])
Z = np.empty([dotnum,3])

w=np.linspace(0,1,dotnum)
for i in range (dotnum):
    li=w[i]*s
    M = vec2sM(li)
    A = expm(M)
    X[i] = np.dot(A, x)
    Y[i] = np.dot(A, y)
    Z[i] = np.dot(A, z)





#figure：新的画布
fig=plt.figure()
#axes：坐标轴
ax1=plt.axes(projection='3d')
ax1.scatter3D(0,0,0,cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(X[:,0],X[:,1],X[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(Y[:,0],Y[:,1],Y[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
ax1.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1],Z[:,2],cmap='Blues')#绘制散点图
plt.plot([0,0,0], s, label='x')

从李代数到李群的指数映射并不总是到 上，即使该群是连通的（尽管对于紧致或幂零的连通群，它确实映射到李群）