多视几何004： 相机模型

无畸变的世界坐标系转换为像素坐标系

$$Z_{camera}\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{dx}& & u_0\\ & \frac{1}{dy}& v_0\\ & & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}f& & & 0\\ & f& & 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& T\\ \stackrel{\rightharpoonup }{0}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right]$$

相机外参

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cc}R& T\\ \stackrel{\rightharpoonup }{0}& 1\end{array}\right]为相机外参，描述的是相机在空间中的位置T_{3\times 1}与姿态R_{3\times 3}， \\ \left[\begin{array}{cc}R& T\\ \stackrel{\rightharpoonup }{0}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_{camera}\\ Y_{camera}\\ Z_{camera}\\ 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

相机内参

$$\begin{gathered} 其中\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{dx}& & u_0\\ & \frac{1}{dy}& v_0\\ & & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}f& & & 0\\ & f& & 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{f}{dx}& & u_0& 0\\ & \frac{f}{dy}& v_0& 0\\ & & 1& 0\end{array}\right] \\ 为相机的内参，将相机坐标转换为图像坐标 \\ \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{dx}& & u_0\\ & \frac{1}{dy}& v_0\\ & & 1\end{array}\right]为CCD图像传感参数，\left[\begin{array}{cccc}f& & & 0\\ & f& & 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]为镜头参数，f，f为镜头的相同的焦距 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} dx,dy为像元尺寸，dx为每个像素长在传感器中对应的长度， \\ 比如某10\times 10mm的传感器，生成的图片为1000\times 1000px,则dx=\frac{10}{1000}mm \\ \frac{x}{dx}为图像的长度x(单位m)在图片的像素长度(单位px) \\ \frac{f}{dx}=f\ast \frac{h_{image}}{h_{ccd}} \end{gathered}$$

镜头参数

$x,y为图像坐标，Z_{camera}表示去除外参后得到的世界坐标位置$

$$\begin{gathered} \frac{X_c}{x}=\frac{Y_c}{y}=\frac{Z_c}{f} \\ x=f\frac{X_c}{Z_c},y=f\frac{Y_c}{Z_c}即Z_c\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}f& & & 0\\ & f& & 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_{camera}\\ Y_{camera}\\ Z_{camera}\\ 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 图像的中心坐标为（u_0,v_0） \\ \{\begin{array}{l}u=\frac{x}{dx}+u_0\\ v=\frac{y}{dy}+v_0\end{array}即\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{dx}& & u_0\\ & \frac{1}{dy}& v_0\\ & & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

最终结果为：
$$Z_{camera}\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{dx}& & u_0\\ & \frac{1}{dy}& v_0\\ & & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}f& & & 0\\ & f& & 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& T\\ \stackrel{\rightharpoonup }{0}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right]$$

应用

$$\begin{gathered} 某人距离高324米的埃菲尔铁塔1500米，他希望所得的长为1280pix的图片中， \\ 欸菲尔铁塔的长为960pix,所用的相机CCD长为21.8mm,应选用的焦距为？(外参R=I,T=0) \end{gathered}$$
$$$$

$$\begin{gathered} Z\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}f\ast \frac{h_{image}}{h_{ccd}}& & u_0& 0\\ & f\ast \frac{h_{image}}{h_{ccd}}& v_0& 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right] \\ 则Z\ast u=f\ast \frac{h_{image}}{h_{ccd}}\ast X \\ 1500\ast 960=f\ast \frac{1280}{\mathrm{0.021.8}}\ast 324 \end{gathered}$$

参考部分

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