向量空间与模理论-优快云博客

向量空间

$称 V 为域 P 上的一个线性空间，或向量空间， V 中元素称为向量。$

1.加法： $∀α,β∈V→α+β∈V\forall α,β\in V\rightarrow α+β\in V$

2.数乘： $k∈P,α∈V→kα∈Vk\in P,α\in V \rightarrow kα\in V$

加法和数乘需要满足的一堆条件：

$1)α+β=β+α，对任意α，β∈V.2)α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.3)存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.4)对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为−α.5)对P中单位元1，有1α=α(α∈V).6)对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).7)对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.8)对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ\tiny 1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.\\ 2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.\\ 3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.\\ 4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.\\ 5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).\\ 6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).\\ 7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.\\ 8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ$

$R^n:全体n维实的列向量构成的集合$
$R 模 (R - m o d u l e) 向量空间概念的一种推广 . 用以描述更一般的线性系统 .$
$环 R 本身也是一个 R 模。因为 R 是一个加法的 A b e l 群，且自身保持乘法封闭$

模的概念(没有区分左右)

$\rightarrow M\\ 模：幺环 × 交换群 \rightarrow 交换群\\ \tiny{群中的元素只有一个运算，所以两个结构链接的法则就是“+”}\normalsize \ \\ 子模：模的自然的子结构\\ \ \\ (a,x+N) \rightarrow ax+N \\ 商模：R * M/N \rightarrow M/N \\ \tiny 同态基本定理的两个推论：\\ ①：两个子模有M_1>N，则M/M_1=(M/N)/(M_1/N)\\ ②：两个子模H,N，则(H+N)/N 同构 H/(H\cap N)$

例子:

1.交换群的分类

$任意一个 A b e l 群是一个 Z 模， Z 为整数环$

2.若当标准型(存在且唯一)

$2.1 设 V 是域 F 上的线性空间, 则 [公式] 是一个 F 模$
$(其中：a∈V,f(λ)∈F[λ])则V是一个左F[λ]模.设V是域F上的线性空间.\\ T是V中给定的线性变换.存在一个多项式\\现在令F[\lambda]是F上的一元多项式环,\\ 幺环 × 交换群 \rightarrow 交换群\\ f(\lambda) × a \rightarrow F(T) a\ \ (其中：a\in V,f(\lambda)\in F[\lambda])\\ 则V是一个左F[\lambda]模.$
$多项式?\rightarrow 从特征值和哈密顿凯莱定理开始$