假设检验

假设检验

$$\begin{gathered} 假设检验的基本思想是“小概率事件”原理， \\ 其统计推断方法是带有某种概率性质的反证法。 \\ 小概率思想是指小概率事件在一次试验中基本上不会发生。 \end{gathered}$$

一维正太分布的均值与方差(分布)

大类	条件	分布	范围
$$均值{\mu }_0$$	$$\sigma 已知$$	$$\frac{\frac{\sum x_i}{n}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$	N（0，1）
$$均值{\mu }_0$$	$$\sigma 未知$$	$$\frac{\frac{\sum x_i}{n}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$$	t（n-1）
$$方差{\sigma }^2$$	$$\mu 未知$$	$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$$	$${\chi }^2（n-1）$$

二维正太分布的均值与方差(分布)

大类	条件	分布	范围
$$均值{\mu }_1,{\mu }_2$$	$${\sigma }_1,{\sigma }_2已知$$	$$\frac{\frac{\sum x{1}_i}{n1}-\frac{\sum x{2}_i}{n2}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1}{n1}+\frac{{\sigma }_2}{n2}}}$$	N（0，1）
$$均值{\mu }_1,{\mu }_2$$	$${\sigma }_1,{\sigma }_2已知$$	$$\frac{\frac{\sum x{1}_i}{n1}-\frac{\sum x{2}_i}{n2}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1}{n1}+\frac{{\sigma }_2}{n2}}}$$	t（n+m-2）
$$方差{\sigma }^2$$	$$\mu 未知$$	$$\frac{S{1}^2}{S{2}^2}$$	$$F（n-1，m-1）$$

$$\begin{gathered} 例:由经验知某零件的重量XN(\mu ,o2)，\mu =15, \\ o=0.05;技术革新后，抽出6个零件，测得重量为 \\ (单位:克)14.715.114.815.015.214.6,已 \\ 知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克?(a=0.05) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 解:由题意可知:零件重量XN(\mu ,o2)，且技术革新前后的方差不变{\sigma }^2=0.05^2, \\ 要求对均值进行检验，采用U检验法。 \\ 假设H_0:\mu =15;H_1:\mu \ne 15 \\ 构造U统计量，得U的0.05双侧分位数为U_{0.025}=+/-1.96 \\ 而样本均值为x=14.9 \\ 故U统计量的观测值为\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\frac{\bar{1}4.9-15}{\frac{0.05}{\sqrt{6}}}=-4.9观测值落在拒绝域内所以拒绝原假设。 \end{gathered}$$

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$$\begin{gathered} 对普通正态总体的参数\mu 的区间估计 \\ \frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N(0,1) \\ 总体方差已知，非标准正态化为标准正态(由中心极限定理,当n足够大， \\ 也可以把独立同分布的随机变量之和当作正态变量) \\ \frac{\bar{X}-\mu }{\frac{s}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1) \\ 总体方差wei知 \end{gathered}$$
$$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$$
$$\frac{n-1}{{\sigma }^2}{S}^2\sim {\chi }^2(n-1)$$